Cursul 10: Curentul prin conductori metalici. Modelul Drude. Legea lui Ohm

02.05.2018

Notație: în acest curs $\sigma$ este conductivitatea electrică, iar $\rho$ este rezistivitatea (nu densitatea de sarcină din cursurile anterioare).

Metalul la echilibru vs. neechilibru electrostatic

La echilibru electrostatic, electronii cuasi-liberi au viteze haotice cu $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N = 0$, potențialul este constant ($V = \text{const}$) și $\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$.

Dacă stricăm echilibrul (neechilibru electrostatic), apare $\vec{E} \neq 0$ în metal, orientat de la potențialul mai mare la cel mai mic ($V_A > V_B$):

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} \quad (\text{independent de drum}).$

Electronii cuasi-liberi încep să se miște sub acțiunea forței $\vec{F} = q\vec{E}$. Mișcarea ar fi permanent accelerată dacă nu ar întâmpina piedici; însă electronii se ciocnesc de nodurile rețelei cristaline, își micșorează viteza, apoi sunt din nou accelerați până la următoarea ciocnire. Rezultă o mișcare de tip START - STOP - START - STOP, numită mișcare de drift, caracterizată de o viteză medie constantă $\vec{v}_d$ (viteza de drift).

Modelul Lorentz - Drude (1905)

Asupra unui electron ($-e$) acționează forța electrică $\vec{F} = -e\vec{E} = m\vec{a}$. Pe intervale finite, între ciocniri succesive (cu timpi $\Delta t_i$ diferiți):

$-e\vec{E} = m\,\frac{\vec{v}_i - \vec{v}_{0i}}{\Delta t_i} \quad\Rightarrow\quad -\frac{e\vec{E}}{m}\,\Delta t_i = \vec{v}_i - \vec{v}_{0i}.$

Adunând membru cu membru pentru cei $N$ electroni și împărțind la $N$:

$-\frac{e\vec{E}}{m}\cdot\frac{\sum_i \Delta t_i}{N} = \frac{1}{N}\sum_i \vec{v}_i - \frac{1}{N}\sum_i \vec{v}_{0i}.$

Ipoteza lui Lorentz (validă cât timp câmpurile nu sunt foarte mari): vitezele de "plecare" după fiecare ciocnire corespund unei stări apropiate de echilibru electrostatic, deci

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{v}_{0i} = 0, \qquad \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{v}_i = \vec{v}_d, \qquad \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\Delta t_i = \tau,$

unde $\tau$ este timpul liber mediu dintre două ciocniri consecutive. Rezultă:

$-\frac{e\vec{E}}{m}\,\tau = \vec{v}_d \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{v}_d = -\mu\,\vec{E}\;}, \qquad \mu = \frac{e\tau}{m},$

unde $\mu$ este mobilitatea electrică a electronilor cuasi-liberi, cu

$[\mu]_{\text{SI}} = \frac{\text{m/s}}{\text{V/m}} = \frac{\text{m}^2}{\text{V}\cdot\text{s}}.$

Conductivitatea și legea lui Ohm (formă locală)

Cu $\vec{\jmath} = -e\,n\,\vec{v}_d$ (din cursurile anterioare) și $\vec{v}_d = -\mu\vec{E}$:

$\vec{\jmath} = -e\,n\,(-\mu\vec{E}) = e\,n\,\mu\,\vec{E} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\;}, \qquad \sigma = e\,n\,\mu,$

unde $\sigma$ este conductivitatea electrică, cu $[\sigma]_{\text{SI}} = \Omega^{-1}\text{m}^{-1}$. Vectorii $\vec{\jmath}$ și $\vec{E}$ au aceeași orientare. Inversul conductivității este rezistivitatea:

$\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{e\,n\,\mu} \quad (\Omega\cdot\text{m}), \qquad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{1}{\rho}\,\vec{E}.$

Intensitatea și câmpul în sârme de grosimi diferite

Din $\vec{\jmath} = e\,n\,\mu\,\vec{E}$ și $I = j\cdot S$ rezultă $I = e\,n\,S\,\mu\,E$. Când conductoarele sunt puse în serie, $I = \text{const}$. Pentru materiale identice ($n$, $\mu$ egale):

$E_1 S_1 = E_2 S_2 = \text{const}.$

Deci densitatea de curent și câmpul sunt mai mari în sârmele subțiri ($j_1 > j_2 > j_3$ pentru secțiuni crescătoare), deși intensitatea $I$ rămâne aceeași.

Sinteză (formule de referință)

$\vec{\jmath} = e\,n\,\vec{v}_d, \quad \vec{v}_d = -\mu\vec{E}, \quad \mu = \frac{e\tau}{m}, \quad \vec{\jmath} = e\,n\,\mu\,\vec{E}, \quad \sigma = e\,n\,\mu, \quad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{1}{\rho}\vec{E}.$

Legea lui Ohm (formă integrală) și rezistența

Legea lui Ohm (Georg Simon Ohm, 1826): pentru materialele ohmice, dependența dintre intensitate $I$ și tensiune $U = V_A - V_B$ este o dreaptă.

Pentru un conductor de lungime $l$ și secțiune constantă $S$, cu $\vec{E}$ constant în interior, integrând de-a lungul liniei de câmp:

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int_A^B E\,|d\vec{r}|\cos 0 = E\int_A^B |d\vec{r}| = E\,l.$

Deci $V_A - V_B = E\,l$ (câmpul = diferența de potențial pe unitatea de lungime). Definim rezistența electrică:

$R \overset{\text{def}}{=} \frac{V_A - V_B}{I}.$

Folosind $\vec{\jmath} = \dfrac{1}{\rho}\vec{E}$ și $j = \dfrac{I}{S}$, avem $\dfrac{I}{S} = \dfrac{E}{\rho}$, deci $I = \dfrac{S\,E}{\rho}$. Atunci:

$R = \frac{E\,l}{I} = \frac{E\,l}{\dfrac{S\,E}{\rho}} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;R = \rho\,\frac{l}{S}\;}$

Raportul dintre tensiune și curent este o constantă. Rezistența este direct proporțională cu lungimea și invers proporțională cu aria secțiunii, $\rho$ fiind inversul conductivității.

Conductor cu secțiune variabilă

Formula $R = \rho\,\dfrac{l}{S}$ este valabilă doar pentru conductorii cu secțiune constantă. Pentru o secțiune variabilă nu o putem aplica direct; rezistența se scrie în general ca

$R = \rho \times (\text{factor geometric}).$