Cursul 7: Energia unui sistem de sarcini. Energia și gruparea condensatoarelor

04.04.2018

Energia unui sistem de sarcini

Energia unui sistem de sarcini este definită ca lucrul mecanic total efectuat de o forță externă pentru a construi, piesă cu piesă, acel sistem (aducând sarcinile de la infinit).

Deducere pas cu pas

• Pasul I. Aducem prima sarcină $q_1$ în spațiul gol. Nu există încă niciun câmp, deci $L_1 = 0$.
• Pasul II. Aducem $q_2$ la distanța $r_{12}$ de $q_1$:

$L_2 = q_2 \cdot \frac{k q_1}{|r_{12}|}.$

• Pasul III. Aducem $q_3$, aflată la distanțele $r_{13}$ și $r_{23}$ de primele două:

$L_3 = q_3\left(\frac{k q_1}{r_{13}} + \frac{k q_2}{r_{23}}\right) = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}}.$

Formula de inducție pentru pasul $N$

Pentru trei sarcini, lucrul total este:

$L_{\text{total},3} = L_1 + L_2 + L_3 = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{k q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}}.$

Generalizând, fiecare pereche apare o singură dată; numărând toate perechile (de două ori) și împărțind la $2$:

$L_{\text{total}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{\substack{i=1\\ i\neq j}}^{N} \frac{k\,q_i q_j}{r_{ij}}.$

Grupând după $j$:

$L_{\text{total}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N} q_j \left(\sum_{\substack{i=1\\ i\neq j}}^{N} \frac{k\,q_i}{r_{ij}}\right).$

Suma interioară este chiar potențialul produs de toate celelalte sarcini în punctul lui $q_j$, adică $V_j$. Rezultă formula de calcul rapid a energiei electrostatice a unui sistem de sarcini punctiforme:

$\boxed{\;W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N} q_j V_j\;}$

Exemplu: patru sarcini în vârfurile unui pătrat

Patru sarcini egale $q$ în colțurile unui pătrat de latură $l$. Care este energia sistemului?

$W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{4} q_j V_j = \frac{1}{2}\,q\,(V_1 + V_2 + V_3 + V_4).$

Prin simetrie $V_1 = V_2 = V_3 = V_4$, iar potențialul într-un vârf (de la cele două sarcini vecine, la distanța $l$, și de la cea opusă, la distanța $l\sqrt{2}$):

$V_1 = \frac{kq}{l} + \frac{kq}{l\sqrt{2}} + \frac{kq}{l} = \frac{kq}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right).$

Deci:

$W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\,q\cdot 4 V_1 = 2q\cdot\frac{kq}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2kq^2}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right).$

Energia unui condensator

Presupunem un condensator cu plăci plan-paralele la echilibru electrostatic: $+Q$ la potențial $V_A$, $-Q$ la potențial $V_B$. Plecând de la formula energiei:

$W_{\text{el}} = \frac{1}{2}\sum_i q_i V_i = \frac{1}{2}\left[\sum q_{Ai}\,V_A + \sum q_{Bi}\,V_B\right] = \frac{1}{2}\left[V_A \sum q_{Ai} + V_B \sum q_{Bi}\right].$

Cum $\sum q_{Ai} = Q$ și $\sum q_{Bi} = -Q$:

$W_{\text{el}} = \frac{1}{2}\left[Q V_A - Q V_B\right] = \frac{Q}{2}\,(V_A - V_B) = \frac{Q}{2}\,U_{AB}.$

$\boxed{\;W_{\text{el}} = \frac{Q\,U_{AB}}{2}\;}$

Folosind $C = \dfrac{Q}{V_A - V_B} \Rightarrow Q = C\,U_{AB}$ și $U_{AB} = \dfrac{Q}{C}$, obținem trei variante echivalente:

$W_{\text{el}} = \frac{Q\,U_{AB}}{2} = \frac{C\,U_{AB}^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}.$

Exemplu numeric

Pentru $C_0 = 10\ \text{nF} = 10^{-8}\ \text{F}$ și $U = 10\ \text{V}$:

$W = \frac{C_0 U^2}{2} = \frac{10^{-8}\cdot 10^2}{2} = 0{,}5\cdot10^{-6}\ \text{J} = 0{,}5\ \mu\text{J}.$

Gruparea condensatoarelor

A) Gruparea în serie

Condensatoarele $C_1, C_2, C_3$ sunt legate în serie între bornele $A$ și $B$, menținute la $V_A - V_B = U_{AB} = \text{const}$. Oricâte condensatoare am avea și indiferent de capacități, fiecare armătură se încarcă alternant cu $+Q$ și $-Q$ (aceeași sarcină $Q$ pe tot lanțul).

Introducând nodurile intermediare $M$ și $N$ ($A - C_1 - M - C_2 - N - C_3 - B$):

$V_A - V_M = \frac{Q}{C_1}, \qquad V_M - V_N = \frac{Q}{C_2}, \qquad V_N - V_B = \frac{Q}{C_3}.$

Adunând:

$V_A - V_B = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} + \frac{Q}{C_3}.$

Pentru condensatorul echivalent serie $C_{es} = \dfrac{Q}{V_A - V_B}$, deci $V_A - V_B = \dfrac{Q}{C_{es}}$, de unde:

$\frac{1}{C_{es}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}.$

$\boxed{\;C_{es} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3}}\;}$

Pentru două condensatoare: $C_{es} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$. De exemplu, $C_1 = C_2 = 10\ \text{mF}$ dau:

$C_{es} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{10\cdot 10}{10 + 10}\ \text{mF} = \frac{100}{20}\ \text{mF} = 5\ \text{mF}.$

B) Gruparea în paralel

Condensatoarele $C_1, C_2, C_3$ sunt legate în paralel între $A$ și $B$, la $U_{AB}$ fixat. Diferența de potențial (circulația lui $\vec E$) este aceeași pe fiecare ramură, fiind independentă de drum:

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}.$

Sarcina totală se distribuie: $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3$, cu

$Q_1 = C_1(V_A - V_B), \quad Q_2 = C_2(V_A - V_B), \quad Q_3 = C_3(V_A - V_B), \quad Q = C_{ep}(V_A - V_B).$

Rezultă capacitatea echivalentă paralel:

$\boxed{\;C_{ep} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots + C_N\;}$