Cursul 8: Electrocinetica. Curentul electric și densitatea de curent

Recapitulare (electrostatică)

• Forța asupra unei sarcini: $\vec{F} = Q\vec{E}$.
• Câmpul electrostatic este conservativ și irotational: $\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$, $\operatorname{rot}\vec{E} = 0$, $\vec{E} = -\operatorname{grad} V$.
• Diferența de potențial: $V_A - V_B = \displaystyle\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}$ (potențial mai mare în $A$).
• Legea lui Gauss (formă integrală și locală): $\displaystyle\oint_\Sigma \vec{E}\cdot \vec{n}\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$, $\operatorname{div}\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$.
• Conductorul la echilibru: sarcina doar pe suprafață, $\vec{E} = 0$ în interior, $\vec{E}\perp$ suprafață, $V = \text{const}$, iar la suprafață $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$.

Energia condensatorului

$C = \frac{Q}{V_A - V_B}, \qquad W_{\text{el}} = \frac{Q\,U}{2} = \frac{C\,U^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}.$

Electrocinetica. Curentul electric

Fie un domeniu $\mathcal{D}$ în care, la momentul $t$, se află sarcina $Q(t)$. Pe un element de volum $dV$ avem sarcina elementară

$dQ = \rho(\vec{r}, t)\, dV,$

unde $\rho$ este densitatea volumică de sarcină $\left(\dfrac{\text{C}}{\text{m}^3}\right)$.

Orice mișcare a unui corp încărcat electric este un fenomen care se numește curent electric.

Tipuri de curenți

1. Curenți de convecție - curentul asociat mișcării corpurilor macroscopice electrizate (bară, pieptăn, disc, bucată de sticlă).
2. Curenți de drift / conducție - produși de deplasarea particulelor încărcate sub acțiunea exclusivă a câmpului electric (ex.: accelerator de particule). Curenții prin sârmele metalice sunt curenți de drift.
3. Curenți de difuzie - cauzați de diferența de concentrație dintre particule, nu de acțiunea unui câmp electric.

Densitatea de curent

Caracterizăm curgerea particulelor încărcate printr-un vector numit densitate de curent $\vec{\jmath}$, al cărui modul este egal cu sarcina $\Delta q$ ce străbate, în intervalul $\Delta t$, o suprafață de arie $\Delta S_m$ perpendiculară pe direcția curgerii:

$|\vec{\jmath}| = j = \frac{\Delta q}{\Delta S_m \cdot \Delta t} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta q}{\Delta t} = j\,\Delta S_m.$

Pentru o secțiune oblică $\Delta S$ (cu $\Delta S_m = \Delta S\cos\alpha$, vezi clasa a VIII-a):

$\frac{\Delta q}{\Delta t} = j\,\Delta S\cos\alpha = \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S. \qquad (1)$

Definim intensitatea curentului electric:

$J = \frac{\Delta q}{\Delta t},$

raportul dintre cantitatea de sarcină ce străbate o secțiune arbitrară și intervalul de timp $\Delta t$, măsurată în $\dfrac{\text{C}}{\text{s}} = \text{Amper (A)}$.

Legătura cu viteza purtătorilor

La momentul $t_1$, $N$ particule se mișcă spre dreapta cu viteza $\vec{v}$. Sarcina din "cușca" (paralelipipedul oblic) este

$\Delta q = \rho\,\Delta V = \rho\,\Delta S_m\,\Delta X = \rho\,\Delta S\cos\alpha\,\Delta X.$

Împărțind la $\Delta t$:

$\frac{\Delta q}{\Delta t} = \rho\,\Delta S\cos\alpha\,\frac{\Delta X}{\Delta t} = \rho\,\Delta S\,\vec{v}\cdot\vec{m}. \qquad (2)$

Din $(1)$ și $(2)$, $\vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S = \rho\,\vec{v}\cdot\vec{m}\,\Delta S$, deci:

$\boxed{\;\vec{\jmath} = \rho\,\vec{v}\;}$

Modulul se măsoară în $\dfrac{\text{A}}{\text{m}^2}$, deoarece $j = \dfrac{\Delta q}{\Delta S\,\Delta t} = \dfrac{J}{\Delta S}$.

Particularizare pentru curenții de conducție

Pentru un fascicul de particule cu concentrația $n = \dfrac{N}{V}\left(\dfrac{1}{\text{m}^3}\right)$ (câte particule pe $\text{m}^3$), densitatea de sarcină este $\rho = \dfrac{N q}{V} = n q$, deci:

$\boxed{\;\vec{\jmath} = q\,n\,\vec{v}\;}$

Sensul vectorului $\vec{\jmath}$

• Dacă particula este pozitivă ($q > 0$), $\vec{\jmath}$ are aceeași direcție și sens cu viteza $\vec{v}$.
• Dacă particula este negativă ($q < 0$, de exemplu un electron), $\vec{\jmath}$ are sens opus vitezei.

Vectorul densitate de curent se calculează în sensul dat de viteză și de semnul sarcinii. Săgeata reprezintă vectorul $\vec{\jmath}$, iar intensitatea $J$ este o mărime scalară.