Cursul 6: Teorema reciprocității (Green). Capacitatea. Condensatorul

28.03.2018

Recapitulare: conductorul la echilibru electrostatic

Un conductor aflat la echilibru electrostatic are:

• potențialul constant în interior și pe suprafață: $V = \text{const}$;
• câmpul electric nul în interior: $\vec{E} = 0$;
• câmpul în vecinătatea suprafeței perpendicular pe suprafață, de modul $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$.

Un conductor gol ecranează de la exterior spre interior. Dacă metalul este conectat la pământ, sarcina indusă se scurge (dispare) și conductorul devine ecran bilateral.

Întrebarea cursului: ce se întâmplă cu un sistem de conductori aflați la echilibru electrostatic?

Teorema reciprocității (Green)

Considerăm un sistem de $N$ conductori metalici, în două stări diferite de echilibru electrostatic:

• starea I: conductorii au sarcinile $Q_i$ și potențialele $V_i$;
• starea II: aceiași conductori au sarcinile $Q_i'$ și potențialele $V_i'$.

În aceste condiții, teorema reciprocității afirmă că:

$Q_1 V_1' + Q_2 V_2' + \dots + Q_N V_N' = Q_1' V_1 + Q_2' V_2 + \dots + Q_N' V_N,$

adică, pe scurt (relația de reciprocitate):

$\sum_{i=1}^{N} Q_i V_i' = \sum_{i=1}^{N} Q_i' V_i.$

Capacitatea electrică a unui conductor izolat

Pentru un singur conductor izolat ($Q$ - sarcina, $V$ - potențialul), teorema lui Green aplicată între stările I $(Q, V)$ și II $(Q', V')$ dă:

$Q \cdot V' = Q' \cdot V \quad\Rightarrow\quad \frac{Q}{V} = \frac{Q'}{V'} = \text{const}.$

Acest raport constant se numește capacitatea electrică a conductorului izolat.

Cazul sferei

Pentru o sferă încărcată uniform (simetrie radială, liniile de câmp egale), potențialul este $V = \dfrac{kQ}{R}$, deci:

$C_{\text{sf}} = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\dfrac{kQ}{R}} = \frac{R}{k} = \frac{R}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}} = 4\pi\varepsilon_0 R.$

Capacitatea electrică a sferei este direct proporțională cu raza ei.

Condensatorul

Capacitatea electrică a unui sistem din doi conductori care au sarcini egale în modul și opuse ca semn se numește condensator.

Cele două armături au sarcinile $+Q$ la potențial $V_1$ și $-Q$ la potențial $V_2$. Aplicând teorema lui Green între stările I și II:

$Q V_1' - Q V_2' = Q' V_1 - Q' V_2 \quad\Rightarrow\quad Q\,(V_1' - V_2') = Q'\,(V_1 - V_2),$

de unde:

$\frac{Q}{V_1 - V_2} = \frac{Q'}{V_1' - V_2'} = \text{const} = \text{capacitatea condensatorului}.$

Unitatea de măsură în SI:

$[C]_{\text{SI}} = \frac{\text{C}}{\text{V}} = \text{F (Farad)}.$

Deoarece $-Q$ corespunde lui $V_2$, iar $+Q$ corespunde lui $V_1$, capacitatea se scrie ca o mărime pozitivă:

$C = \frac{Q}{V_A - V_B} = \frac{-Q}{V_B - V_A}.$

Capacitatea condensatorului plan (plăci plan-paralele)

Când distanța dintre plăci este mult mai mică decât dimensiunea (raza) plăcilor, sarcina se rearanjează astfel încât câmpul este concentrat și aproape uniform între plăci, iar în exterior tinde la $0$:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \qquad \sigma = \frac{Q}{S}.$

Putem astfel calcula capacitatea cu eroare foarte mică. Tensiunea dintre plăci se obține integrând câmpul pe un drum de la $A$ la $B$ (integrală independentă de drum):

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}.$

Pe porțiunile prin sârme și prin plăci integrala este nulă (în conductori $\vec E = 0$), deci rămâne doar contribuția dintre plăci:

$V_A - V_B = \int_{\text{(2)}} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int |\vec{E}|\,|d\vec{r}|\cos 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\int_{\text{(2)}} |d\vec{r}| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d,$

unde $\text{(2)}$ este porțiunea dintre plăci, de lungime $d$. Așadar:

$V_A - V_B = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d, \qquad \text{sau} \qquad U = E \cdot d.$

Capacitatea condensatorului plan devine:

$C_{\text{plan}} = \frac{Q}{\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d} = \frac{Q\,\varepsilon_0}{\dfrac{Q}{S}\, d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.$

$\boxed{\;C_{\text{plan}} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\;}$

• invers proporțională cu distanța dintre plăci;
• direct proporțională cu suprafața plăcii.

Exemplu numeric

Pentru $R = 10\ \text{cm}$, $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{F/m}$ și $d = 1\ \text{cm}$:

$C_{\text{plan}} = \frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot \pi\,(10^{-1})^2}{10^{-2}} \approx 27{,}8\cdot10^{-12}\ \text{F} = 27{,}8\ \text{pF}.$

Condensatorul - concentrator de câmp

Sarcinile $(+)$ și $(-)$ se așază numai pe fețele interne ale condensatorului (în exterior câmpul tinde la $0$).

Într-un circuit cu o baterie, tensiunea la bornele condensatorului este aceeași cu cea de la bornele bateriei: $V_A - V_B = V_C - V_D$.

Apropiind fețele condensatorului la $V_A - V_B = \text{const}$, câmpul electric dintre plăci crește. De aceea:

Condensatorul este un concentrator de câmp electric.