Cursul 9: Intensitatea curentului. Ecuația de continuitate. Curenți prin metale

25.04.2018

Intensitatea curentului ca flux al densității de curent

Reluăm densitatea de curent $\vec{\jmath} = \rho\,\vec{v} = n q\,\vec{v}$, cu $\dfrac{\Delta q}{\Delta t} = \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S$.

Intensitatea medie a curentului prin suprafața $\Delta S$ este

$I_{\text{mediu}} = \frac{\Delta q}{\Delta t},$

măsurată în $\dfrac{\text{C}}{\text{s}} = \text{Amper}$. Este o mărime scalară (nu are direcție și sens). Printr-un tub de curent, $I$ este aceeași prin orice secțiune ($I_{S_1} = I_{S_2}$ - aceeași cantitate de sarcină într-un interval de timp fixat).

Când $\Delta t \to 0$ obținem intensitatea instantanee printr-un element de suprafață:

$dI = \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,dS \quad\Rightarrow\quad I = \int_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,dS.$

Intensitatea instantanee a curentului electric printr-o suprafață $\Sigma$ este egală cu fluxul vectorului densitate de curent prin acea suprafață.

Semnificația fizică a unităților: din $I\,[\text{A}] = [j]_{\text{SI}}\cdot \text{m}^2$ rezultă

$[j]_{\text{SI}} = \frac{\text{A}}{\text{m}^2} \quad \left(\frac{\text{intensitate}}{\text{suprafață}}\right).$

Ecuația de continuitate

Reprezintă ilustrarea matematică a principiului conservării sarcinii electrice (un electron nu poate fi distrus).

Fie $\Sigma$ o suprafață închisă (frontiera domeniului $\mathcal{D}$) și $Q(t)$ sarcina din interior. Sarcina ieșită prin suprafață în intervalul $\Delta t = t - t_0$ este $\vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S\,\Delta t$, deci:

$Q(t_0) = Q(t) + \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S\,\Delta t.$

De aici $-\vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S = \dfrac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}$, iar la limita $t \to t_0$:

$-\vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,\Delta S = \frac{dQ}{dt}.$

Scriind sarcina ca integrală de volum $Q_{\mathcal{D}} = \displaystyle\int_{\mathcal{D}} \rho(\vec{r}, t)\,dV$ și trecând la suprafața închisă:

$-\oint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\vec{m}\,dS = \frac{d}{dt}\int_{\mathcal{D}} \rho(\vec{r}, t)\,dV = \int_{\mathcal{D}} \frac{\partial \rho(\vec{r}, t)}{\partial t}\,dV.$

Aplicând teorema Gauss-Ostrogradski membrului stâng:

$-\int_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{\jmath}\,dV = \int_{\mathcal{D}} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV \quad\Rightarrow\quad 0 = \int_{\mathcal{D}}\left(\operatorname{div}\vec{\jmath} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right)dV.$

Cum domeniul este arbitrar, integrandul este nul:

$\boxed{\;\operatorname{div}\vec{\jmath} + \frac{\partial \rho(\vec{r}, t)}{\partial t} = 0\;}$

aceasta fiind ecuația de continuitate (indestructibilitatea sarcinii).

Cazul staționar

În electrocinetica staționară (curent continuu) densitatea de sarcină nu variază în timp, $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$, deci:

$\boxed{\;\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\;}$

Spre deosebire de câmpul electrostatic al unei sarcini ($\operatorname{div}\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$, cu linii deschise), liniile câmpului $\vec{\jmath}$ în regim staționar sunt curbe închise.

Curenți electrici prin medii conductoare (metale)

În interiorul metalului, câte un electron de pe straturile marginale ale fiecărui atom se desprinde și se mișcă practic liber, fără să poată ieși din metal. Astfel, concentrația electronilor liberi este egală cu concentrația atomilor:

$n \sim 10^{28}\ \text{m}^{-3} \quad (\text{număr de atomi pe } \text{m}^3).$

Toți acești electroni formează o "mare de electroni" care se mișcă haotic în toate direcțiile, precum moleculele unui gaz ideal. Ceilalți electroni rămân legați de nuclee și nu participă la conducție; nici nucleele nu participă.

Datorită mișcării complet haotice, suma vitezelor este nulă:

$\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N = 0,$

deci densitatea globală de curent este $0$. Deși există densități microscopice de curent nenule, caracterul haotic face ca densitatea totală de curent prin metal să fie $0$.

Cum obținem totuși curent

Un conductor în câmp exterior $\vec{E}_{\text{ext}}$ își redistribuie sarcinile până când, la echilibru electrostatic:

$\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_{\text{ext}} + \vec{E}_{\text{distrib}} = 0.$

În aceste condiții curentul net prin metal are densitatea $0$. Pentru a avea curent electric trebuie să stricăm echilibrul electrostatic, adică să menținem câmpul electric din metal nenul. Mijloacele obișnuite sunt sursele de tensiune electromotoare: plasate în circuit, ele redistribuie permanent electronii liberi astfel încât în interiorul metalului să existe mereu câmp electric.

$\text{pentru ca să existe curent electric} \;\Rightarrow\; \vec{E}_{\text{intern}} \neq 0.$