← Cursuri

Curs 04Ecuația Poisson; conductori la echilibru electrostatic

ConținutAnimațiiInteractiv
PDF Word LaTeX

Recapitulare

Din cursurile anterioare reținem relațiile fundamentale ale câmpului electrostatic:

∮ΓE⃗⋅dr⃗=0(1)E⃗=−grad⁡V(2)rot⁡E⃗=0(3)\begin{aligned} \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} &= 0 \qquad (1)\\ \vec{E} &= -\operatorname{grad} V \qquad (2)\\ \operatorname{rot} \vec{E} &= 0 \qquad (3) \end{aligned}

Relația (1) implică, prin teorema Stokes:

∮ΓE⃗⋅dr⃗=∬Σ(rot⁡E⃗)⋅n^ dS=0,\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \iint_{\Sigma} \left(\operatorname{rot}\vec{E}\right) \cdot \hat{n} \, dS = 0,

ceea ce este consistent cu (3).

Diferența de potențial între două puncte 11 și 22 este:

V1−V2=∫12E⃗⋅dr⃗.V_1 - V_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{r}.
Integrala de contur a lui E este zero

Densitatea volumică de sarcină și legătura cu câmpul electric

Densitatea volumică de sarcină

Fie un domeniu D\mathcal{D} din spațiu. Definim densitatea volumică de sarcină în punctul P(x,y,z)P(x,y,z) ca:

ρ(x,y,z)=dQdV[C/m3].\rho(x,y,z) = \frac{dQ}{dV} \qquad \left[\mathrm{C/m^3}\right].

Sarcina totală conținută în domeniul D\mathcal{D} este:

QD=∫DdQ=∭Dρ dV.Q_{\mathcal{D}} = \int_{\mathcal{D}} dQ = \iiint_{\mathcal{D}} \rho \, dV.
Domeniu D delimitat de suprafața Σ, cu elementul de volum dV și sarcina elementară dQ = ρ dV în punctul P(x, y, z).
Domeniu D delimitat de suprafața Σ, cu elementul de volum dV și sarcina elementară dQ = ρ dV în punctul P(x, y, z).
Definitia densității volumice de sarcină rho

Teorema Gauss în formă integrală

Aplicând teorema Gauss (divergenței):

∯ΣE⃗⋅n^ dS=∭Ddiv⁡E⃗ dV.\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS = \iiint_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{E} \, dV.

Pe de altă parte, legea lui Gauss pentru câmpul electric afirmă că fluxul lui E⃗\vec{E} printr-o suprafață închisă Σ\Sigma este egal cu sarcina interioară împărțită la ε0\varepsilon_0:

∯ΣE⃗⋅n^ dS=Qintε0=1ε0∭Dρ dV.\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_{\mathcal{D}} \rho \, dV.

Deoarece relația este valabilă pentru orice domeniu D\mathcal{D}, integranzii trebuie să fie egali. Obținem astfel legătura matematică dintre câmp și sursă:

div⁡E⃗=ρε0(4)\boxed{\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}} \qquad (4)
Legea Gauss: flux prin suprafata închisă

Ecuația lui Poisson

Derivarea ecuației

Combinăm relațiile (2) și (4). Înlocuind E⃗=−grad⁡V\vec{E} = -\operatorname{grad} V în (4):

div⁡(−grad⁡V)=ρε0.\operatorname{div}(-\operatorname{grad} V) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Operatorul grad⁡\operatorname{grad} în coordonate carteziene este:

grad⁡V=i⃗ ∂V∂x+j⃗ ∂V∂y+k⃗ ∂V∂z,\operatorname{grad} V = \vec{i}\,\frac{\partial V}{\partial x} + \vec{j}\,\frac{\partial V}{\partial y} + \vec{k}\,\frac{\partial V}{\partial z},

deci:

−div⁡ ⁣(i⃗ ∂V∂x+j⃗ ∂V∂y+k⃗ ∂V∂z)=ρε0.-\operatorname{div}\!\left( \vec{i}\,\frac{\partial V}{\partial x} + \vec{j}\,\frac{\partial V}{\partial y} + \vec{k}\,\frac{\partial V}{\partial z} \right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Aplicând operatorul div⁡\operatorname{div} termen cu termen:

−(∂∂x ⁣(∂V∂x)+∂∂y ⁣(∂V∂y)+∂∂z ⁣(∂V∂z))=ρε0,-\left( \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right) \right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},

adică:

−(∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2)=ρε0.(5)-\left( \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. \qquad (5)

Operatorul laplacian

Introducem operatorul laplacian Δ\Delta (numit și ∇2\nabla^2), definit în coordonate carteziene prin:

Δ  =def  ∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2.\Delta \;\overset{\mathrm{def}}{=}\; \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Cu această notație, ecuația (5) se rescrie ca −ΔV=ρε0-\Delta V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, adică:

ΔV=−ρε0(6)\boxed{\Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}} \qquad (6)

Aceasta este ecuația lui Poisson - legătura dintre potențialul electric VV și densitatea de sarcină ρ\rho care îl produce.

  • În regiunile fără sarcini libere (ρ=0\rho = 0), ecuația lui Poisson se reduce la ecuația lui Laplace: ΔV=0\Delta V = 0.
  • Ecuația lui Poisson este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul al doilea, fundamentală în electrostatică, electrotehnică și fizica matematică.
Derivarea pas cu pas a ecuatiei lui Poisson

Proprietăți ale conductorilor metalici la echilibru electrostatic

Structura microscopică a metalelor

Un material izolator plasat într-un câmp electric nu va fi practic parcurs de curent electric, atâta timp cât câmpul electric nu depășește valoarea de străpungere. Un conductor metalic se deosebește de izolator prin faptul că în interiorul metalului există electroni liberi, care se pot mișca haotic în toate direcțiile. Nu toți electronii sunt liberi - doar aceia care provin din straturile marginale (de valență) ale atomilor.

Concentrația atomilor într-un metal este de ordinul 1028 m−310^{28}\,\mathrm{m^{-3}}. Dacă fiecare atom cedează câte un electron liber, vom avea o concentrație de electroni liberi de același ordin de mărime:

ne≈1028 m−3.n_e \approx 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.

Raportul dintre masa protonului și masa electronului este:

mpme≈1836.\frac{m_p}{m_e} \approx 1836.

Deoarece electronii sunt cu mult mai ușori decât ionii din rețeaua cristalină, ei răspund practic instantaneu la orice câmp electric aplicat.

Comparație izolator–conductor la nivel atomic: electroni legați față de electroni liberi de valență.
Comparație izolator–conductor la nivel atomic: electroni legați față de electroni liberi de valență.
Miscarea haotică a electronilor liberi în metal

Mecanismul atingerii echilibrului electrostatic

Când un conductor metalic este plasat într-un câmp electric extern E⃗ext\vec{E}_{\text{ext}}, electronii liberi sunt puși în mișcare ordonată (contrar câmpului, deoarece au sarcină negativă). Această mișcare continuă până când câmpul produs de sarcina redistribuită E⃗dist\vec{E}_{\text{dist}} îl anulează exact pe cel exterior:

E⃗total=E⃗ext+E⃗dist=0⃗(la echilibru electrostatic).\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_{\text{ext}} + \vec{E}_{\text{dist}} = \vec{0} \qquad \text{(la echilibru electrostatic)}.
Redistribuirea sarcinilor pâna la echilibru (animatie vedeta)

Proprietățile conductorului la echilibru electrostatic

La echilibru electrostatic, un conductor metalic prezintă trei proprietăți fundamentale:

Proprietatea 1: Câmpul electric total în interior este nul

E⃗total=0⃗(ıˆn interiorul metalului, la echilibru electrostatic).(7)\vec{E}_{\text{total}} = \vec{0} \qquad \text{(în interiorul metalului, la echilibru electrostatic).} \qquad (7)

Aceasta este consecința directă a procesului de redistribuire a sarcinilor descris mai sus.

Proprietatea 2: Sarcina netă se distribuie numai pe suprafață

Din (7) și ecuația (4):

div⁡E⃗=ρε0=0⟹ρ=0(ıˆn interiorul metalului).\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \rho = 0 \qquad \text{(în interiorul metalului).}

Aceasta înseamnă că nu există densitate volumică de sarcină în interiorul conductorului. Prin urmare, sarcina netă cu care este electrizat metalul se distribuie la echilibru electrostatic exclusiv pe suprafața acestuia, nu și în interior.

Demonstrație prin legea Gauss: considerăm o suprafață gaussiană Σ\Sigma trasată în interiorul metalului (oriunde, fără să atingă suprafața exterioară). Deoarece E⃗=0⃗\vec{E} = \vec{0} în interior:

∯ΣE⃗⋅n^ dS=Qintε0=0⟹Qint=0.\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0 \quad \Longrightarrow \quad Q_{\text{int}} = 0.

Aceasta este valabil pentru orice suprafață gaussiană interioară, deci ρ=0\rho = 0 pretutindeni în interior, iar sarcina se găsește doar la suprafață.

Conductor arbitrar încărcat; suprafața gaussiană Σ trasată în interior cu E = 0 și Q_int = 0; sarcinile se găsesc exclusiv pe suprafața exterioară.
Conductor arbitrar încărcat; suprafața gaussiană Σ trasată în interior cu E = 0 și Q_int = 0; sarcinile se găsesc exclusiv pe suprafața exterioară.

Proprietatea 3: Metalul este un sistem echipotențial

Fie două puncte oarecare 11 și 22 din interiorul (sau de pe suprafața) metalului, legate printr-un drum Γ\Gamma aflat în interior. Deoarece E⃗=0⃗\vec{E} = \vec{0} pe tot drumul:

V1−V2=∫12E⃗⋅dr⃗=0⟹V1=V2.V_1 - V_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0 \quad \Longrightarrow \quad V_1 = V_2.

Prin urmare, metalul aflat la echilibru electrostatic este un sistem echipotențial: potențialul electric are aceeași valoare în orice punct al conductorului (interior și suprafață).

Conductor arbitrar la echilibru; drum Γ între punctele 1 și 2 în interior; E = 0 pe drum; concluzie V₁ = V₂.
Conductor arbitrar la echilibru; drum Γ între punctele 1 și 2 în interior; E = 0 pe drum; concluzie V₁ = V₂.

Rezumat - caracteristicile unui conductor metalic la echilibru electrostatic

  1. Câmpul electric total din interior este nul: E⃗total=0⃗(ıˆn interior).\vec{E}_{\text{total}} = \vec{0} \quad \text{(în interior)}.
  2. Sarcina netă cu care este electrizat metalul se distribuie la echilibru electrostatic numai pe suprafața sa, nu și în interior (ρ=0\rho = 0 în interior).
  3. Metalul este un sistem echipotențial în stare de echilibru electrostatic: potențialul este constant în tot conductorul.

Notă: Câmpul electric exterior suprafeței metalului este perpendicular pe aceasta (altfel componenta tangențială ar pune electronii în mișcare, contrazicând echilibrul).