Cursul 11: Gruparea rezistoarelor. Transfigurarea stea-triunghi

A. Gruparea în serie

Rezistoarele $R_1, R_2, R_3$ legate în serie între $A$ și $B$ sunt parcurse de același curent $I$. Tensiunea totală:

$V_A - V_B = I R_1 + I R_2 + I R_3 \qquad (1)$

Pentru rezistorul echivalent: $V_A - V_B = I\,R_{es}$ $(2)$. Egalând $(1) = (2)$:

$(R_1 + R_2 + R_3)\,I = I\,R_{es} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;R_{es} = R_1 + R_2 + R_3\;}$

B. Gruparea în paralel

Rezistoarele sunt legate între aceleași borne $A$ și $B$ (aceeași tensiune $V_A - V_B$). Curentul se distribuie: $I = I_1 + I_2 + I_3$, cu

$I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1}, \qquad I_2 = \frac{V_A - V_B}{R_2}, \qquad I_3 = \frac{V_A - V_B}{R_3}.$

Pentru rezistorul echivalent $I = \dfrac{V_A - V_B}{R_{ep}}$, deci:

$\frac{V_A - V_B}{R_{ep}} = \frac{V_A - V_B}{R_1} + \frac{V_A - V_B}{R_2} + \frac{V_A - V_B}{R_3} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\frac{1}{R_{ep}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\;}$

C. Transfigurarea stea - triunghi ($Y \to \Delta$)

În conexiunea stea (montaj 1), cele trei rezistoare $R_1, R_2, R_3$ pleacă dintr-un nod comun $O$ către bornele $1, 2, 3$. Conform legii nodurilor:

$I_1 + I_2 + I_3 = 0, \qquad I_1 = \frac{V_1 - V_0}{R_1}, \quad I_2 = \frac{V_2 - V_0}{R_2}, \quad I_3 = \frac{V_3 - V_0}{R_3}.$

Din suma curenților rezultă potențialul nodului $O$:

$\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} = V_0\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right) \;\Rightarrow\; V_0 = \frac{\dfrac{V_1}{R_1} + \dfrac{V_2}{R_2} + \dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}.$

Notăm $K = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}$. Înlocuind $V_0$ în expresiile curenților se obține (de exemplu pentru $I_2$):

$I_2 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 R_2\,K} + \frac{V_2 - V_3}{R_2 R_3\,K}, \qquad I_3 = \frac{V_3 - V_1}{R_3 R_1\,K} + \frac{V_3 - V_2}{R_2 R_3\,K},$

iar din $I_1 = -I_2 - I_3$:

$I_1 = \frac{V_1 - V_2}{R_1 R_2\,K} + \frac{V_1 - V_3}{R_1 R_3\,K}.$

În conexiunea triunghi (montaj 2), $I_1 = I_{12} + I_{13}$ cu $I_{12} = \dfrac{V_1 - V_2}{R_{12}}$ și $I_{13} = \dfrac{V_1 - V_3}{R_{13}}$. Identificând termen cu termen, $\dfrac{1}{R_{12}} = \dfrac{1}{R_1 R_2\,K}$, de unde:

$R_{12} = R_1 R_2\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right) = R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{R_3}.$

Analog pentru celelalte laturi:

$\boxed{\;R_{12} = R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{R_3}, \quad R_{13} = R_1 + R_3 + \frac{R_1 R_3}{R_2}, \quad R_{23} = R_2 + R_3 + \frac{R_2 R_3}{R_1}\;}$

D. Transfigurarea triunghi - stea ($\Delta \to Y$)

Rezolvând sistemul invers, rezistoarele stelei se exprimă prin laturile triunghiului:

$\boxed{\;R_1 = \frac{R_{12}\,R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}, \quad R_2 = \frac{R_{12}\,R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}, \quad R_3 = \frac{R_{13}\,R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\;}$

Fiecare rezistor al stelei este produsul celor două laturi adiacente ale triunghiului împărțit la suma tuturor laturilor.