% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 10: Curentul prin conductori metalici. Modelul Drude. Legea lui Ohm},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 10: Curentul prin conductori metalici. Modelul Drude.
Legea lui Ohm}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{quote}
Notație: în acest curs \(\sigma\) este \textbf{conductivitatea}
electrică, iar \(\rho\) este \textbf{rezistivitatea} (nu densitatea de
sarcină din cursurile anterioare).
\end{quote}

În Cursul 9 am stabilit un fapt esențial: la echilibru electrostatic,
densitatea de curent printr-un metal este nulă. Cursul de față explică
ce se întâmplă când acest echilibru se strică - cum se mișcă,
individual, un electron cuasi-liber sub acțiunea câmpului electric
rezultat (modelul Lorentz-Drude), ce viteză medie capătă mișcarea lui
dezordonată (viteza de drift), și cum acest rezultat pur microscopic
urcă, pas cu pas, până la legea lui Ohm: întâi în forma ei locală,
\(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), apoi în forma ei integrală, familiară
din liceu, \(U = RI\). În încheiere, calculăm și energia disipată sub
formă de căldură prin efectul Joule, anunțat încă din Cursul 9.

\subsection{Metalul la echilibru vs.~neechilibru
electrostatic}\label{metalul-la-echilibru-vs.-neechilibru-electrostatic}

La echilibru electrostatic, electronii cuasi-liberi au viteze haotice cu
\(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N = 0\), potențialul este
constant (\(V = \text{const}\)) și \(\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\)
(dacă, în plus, conductorul poartă o sarcină netă, liniile de câmp
electric ies perpendicular pe suprafața lui - proprietate stabilită în
Cursurile 4-5).

Dacă \textbf{stricăm echilibrul} (neechilibru electrostatic), apare
\(\vec{E} \neq 0\) în metal, orientat de la potențialul mai mare la cel
mai mic (\(V_A > V_B\)):

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} \quad (\text{independent de drum}).\]

Electronii cuasi-liberi încep să se miște sub acțiunea forței
\(\vec{F} = q\vec{E}\). Mișcarea ar fi permanent accelerată dacă nu ar
întâmpina piedici; însă electronii se ciocnesc de nodurile rețelei
cristaline, își micșorează viteza, apoi sunt din nou accelerați până la
următoarea ciocnire. Rezultă o mișcare de tip \textbf{START - STOP -
START - STOP}, numită \textbf{mișcare de drift}, caracterizată de o
viteză medie constantă \(\vec{v}_d\) (viteză de drift).

Efectul net seamănă cu al unui bob care cade printr-un lichid vâscos, nu
prin vid: forța care îl trage este constantă, dar frânările dese impuse
de mediu îi limitează viteza la o valoare constantă de regim, mult mai
mică decât viteza pe care ar atinge-o accelerând liber, fără nicio
piedică.

\subsection{Modelul Lorentz-Drude
(1905)}\label{modelul-lorentz-drude-1905}

Modelul care transformă această descriere calitativă într-o formulă
cuantitativă a fost propus de H. A. Lorentz și Drude, în 1905, și
pornește de la o singură ecuație: legea a doua a lui Newton, aplicată
unui singur electron, între două ciocniri succesive. Scopul e limpede:
plecând doar de la \(\vec{F} = m\vec{a}\) și de la ideea de ciocnire
aleatoare cu rețeaua, să obținem o relație precisă între viteza medie de
drift \(\vec{v}_d\) și câmpul aplicat \(\vec{E}\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Modelul Drude: traiectoria START-STOP a electronului}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c10_drude_start_stop.png}}
\caption{(3D) Modelul Drude: traiectoria START-STOP a electronului}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c10_traiectorie_electron.svg}}
\caption{Traiectoria unui electron în modelul Drude: segmente libere
între ciocniri (punctele marcate), cu viteza medie de drift v\_d
antiparalelă cu câmpul electric E.}
\end{figure}

Asupra unui electron (\(-e\)) acționează forța electrică
\(\vec{F} = -e\vec{E} = m\vec{a}\). Pe intervale finite, între ciocniri
succesive (cu timpi \(\Delta t_i\) diferiți):

\[-e\vec{E} = m\,\frac{\vec{v}_i - \vec{v}_{0i}}{\Delta t_i} \quad\Rightarrow\quad -\frac{e\vec{E}}{m}\,\Delta t_i = \vec{v}_i - \vec{v}_{0i}.\]

Adunând membru cu membru pentru cei \(N\) electroni și împărțind la
\(N\):

\[-\frac{e\vec{E}}{m}\cdot\frac{\sum_i \Delta t_i}{N} = \frac{1}{N}\sum_i \vec{v}_i - \frac{1}{N}\sum_i \vec{v}_{0i}.\]

Aici trebuie distinse cu grijă cele două tipuri de viteze care apar în
sumă. Vitezele \(\vec{v}_{0i}\) sunt vitezele cu care electronul \(i\)
\emph{pleacă}, imediat după ultima lui ciocnire - o stare de ``start''
pentru fiecare electron. Vitezele \(\vec{v}_i\), în schimb, sunt
vitezele acumulate de electron chiar înainte de \emph{următoarea} lui
ciocnire, după ce a fost accelerat de câmp tot intervalul \(\Delta t_i\)
- o stare de ``sosire''. Cele două seturi de viteze nu au, în general,
aceeași medie, iar tocmai această diferență este ceea ce urmează să
izolăm.

Ipoteza lui Lorentz (validă cât timp câmpurile nu sunt foarte mari) este
că fiecare ciocnire randomizează atât de eficient direcția electronului,
încât starea de plecare de după ea este practic o stare de echilibru
electrostatic: media vitezelor \(\vec{v}_{0i}\) este nulă, exact ca suma
vitezelor haotice de la echilibru. Vitezele de sosire \(\vec{v}_i\) nu
mai au însă media nulă - fiecare electron a câștigat, între ciocniri, un
increment de viteză proporțional cu \(\Delta t_i\) sub acțiunea
câmpului, iar media acestor incremente este tocmai viteza de drift
căutată. Simbolic:

\[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{v}_{0i} = 0, \qquad \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec{v}_i = \vec{v}_d, \qquad \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\Delta t_i = \tau,\]

unde \(\tau\) este \textbf{timpul liber mediu} dintre două ciocniri
consecutive. Rezultă:

\[-\frac{e\vec{E}}{m}\,\tau = \vec{v}_d \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{v}_d = -\mu\,\vec{E}\;}, \qquad \mu = \frac{e\tau}{m},\]

unde \(\mu\) este \textbf{mobilitatea} electrică a electronilor
cuasi-liberi, cu

\[[\mu]_{\text{SI}} = \frac{\text{m/s}}{\text{V/m}} = \frac{\text{m}^2}{\text{V}\cdot\text{s}}.\]

Cu cât \(\tau\) este mai mare - electronul parcurge mai mult drum
nestingherit între două ciocniri -, cu atât mobilitatea, și, după cum
vom vedea imediat, conductivitatea metalului, sunt mai mari: un timp
liber mediu mare este chiar semnătura unui bun conducător.

\subsubsection{Ordinul de mărime al vitezei de
drift}\label{ordinul-de-mux103rime-al-vitezei-de-drift}

Rezultatul \(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\) este corect, dar rămâne abstract;
e instructiv să vedem ce valoare numerică ia \(v_d\) într-un fir metalic
obișnuit, parcurs de un curent obișnuit. Pentru asta e mai simplu să
pornim direct de la relația \(I = j\,S = n\,e\,v_d\,S\), fără să mai
avem nevoie de \(\tau\) sau de \(\mu\) separat: ea combină pur și simplu
forma ei pentru electroni, \(j = nev_d\) (scrisă încă din Cursul 9), cu
identitatea geometrică \(I = jS\).

\textbf{Date:} fir de cupru cu secțiunea
\(S = 1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2\), parcurs de curentul
\(I = 1\ \text{A}\); concentrația electronilor liberi în cupru este
\(n \approx 8{,}5\times 10^{28}\ \text{m}^{-3}\) (o valoare tabelată, de
ordinul \(10^{28}\ \text{m}^{-3}\) menționat deja în Cursul 9), iar
sarcina elementară este \(e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}\).

\textbf{Cerință:} viteza de drift \(v_d\) a electronilor de conducție.

\textbf{Rezolvare:} din \(I = n\,e\,v_d\,S\) obținem

\[
\begin{aligned}
v_d &= \frac{I}{n\,e\,S} \\[2pt]
&= \frac{1}{(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})(10^{-6})} \\[2pt]
&\approx 7{,}4\times 10^{-5}\ \text{m/s}.
\end{aligned}
\]

\[\boxed{\;v_d \approx 7{,}4\times 10^{-5}\ \text{m/s} \approx 0{,}074\ \text{mm/s}\;}\]

Este o viteză derizorie - la acest ritm, un electron ar avea nevoie de
aproape patru ore ca să străbată un metru de fir. Contrastul cu
experiența cotidiană (un bec se aprinde practic instantaneu la apăsarea
întrerupătorului) nu este o contradicție: ceea ce se propagă aproape cu
viteza luminii prin fir este \emph{câmpul electric} \(\vec{E}\),
stabilit simultan de-a lungul întregului circuit, nu electronii înșiși.

Fiecare electron din fir începe să deriveze aproape simultan cu toți
ceilalți, îndată ce câmpul ajunge la el, dar mișcarea lui individuală,
cea calculată mai sus, rămâne extrem de lentă - drift-ul este o mișcare
colectivă, sincronizată de câmp, nu o cursă a electronilor individuali
de la sursă până la bec.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) vec v\_d = -muvec E: cursor E to v\_d, vecjmath = sigmavec E}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c10_viteza_drift_slider.png}}
\caption{(3D) vec v\_d = -muvec E: cursor E to v\_d, vecjmath = sigmavec
E}
\end{figure}

\subsection{Conductivitatea și legea lui Ohm (formă
locală)}\label{conductivitatea-ux219i-legea-lui-ohm-formux103-localux103}

Cu \(\vec{\jmath} = -e\,n\,\vec{v}_d\) (din cursurile anterioare) și
\(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\):

\[\vec{\jmath} = -e\,n\,(-\mu\vec{E}) = e\,n\,\mu\,\vec{E} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\;}, \qquad \sigma = e\,n\,\mu,\]

unde \(\sigma\) este \textbf{conductivitatea electrică}, cu
\([\sigma]_{\text{SI}} = \Omega^{-1}\text{m}^{-1}\). Vectorii
\(\vec{\jmath}\) și \(\vec{E}\) au aceeași orientare. Inversul
conductivității este \textbf{rezistivitatea}:

\[\rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{e\,n\,\mu} \quad (\Omega\cdot\text{m}), \qquad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{1}{\rho}\,\vec{E}.\]

Rezistivitatea diferă enorm de la un material la altul - probabil cel
mai larg interval de valori al oricărei mărimi fizice uzuale. Cuprul are
\(\rho_{\text{Cu}} \approx 1{,}7\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\),
iar aluminiul, un alt metal bun conducător,
\(\rho_{\text{Al}} \approx 2{,}7\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\) -
valori comparabile. La polul opus, sticla are \(\rho\) cuprins între
\(10^{10}\) și \(10^{14}\ \Omega\cdot\text{m}\), adică cel puțin
șaptesprezece ordine de mărime mai mult decât un metal bun conducător.

Tocmai această plajă enormă de valori împarte materialele în trei clase:
\textbf{conductoare} (metalele, cu \(\rho\) foarte mic),
\textbf{izolatoare} (precum sticla sau majoritatea materialelor
plastice, cu \(\rho\) imens) și, la mijloc, \textbf{semiconductoarele}
(siliciul pur are \(\rho \approx 2\times 10^{3}\ \Omega\cdot\text{m}\))
- a căror rezistivitate poate fi controlată, prin dopaj, cu multe ordine
de mărime, exact proprietatea care le face utile în electronică.

\textbf{Aplicație numerică.} Cu rezistivitatea cuprului de mai sus putem
afla și timpul liber mediu \(\tau\), folosind \(\sigma = 1/\rho\) și
relația \(\sigma = n e^2\tau/m\), obținută combinând
\(\sigma = e\,n\,\mu\) cu \(\mu = e\tau/m\). Cu
\(n \approx 8{,}5\times 10^{28}\ \text{m}^{-3}\),
\(e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}\) și masa electronului
\(m = 9{,}11\times 10^{-31}\ \text{kg}\):

\[
\begin{aligned}
\tau &= \frac{m}{\rho_{\text{Cu}}\,n\,e^2} \\[2pt]
&= \frac{9{,}11\times 10^{-31}}{(1{,}7\times 10^{-8})(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})^2} \\[2pt]
&\approx 2{,}5\times 10^{-14}\ \text{s},
\end{aligned}
\]

căruia îi corespunde mobilitatea
\(\mu = e\tau/m \approx 4{,}3\times 10^{-3}\ \text{m}^2/(\text{V}\cdot\text{s})\).
Un timp liber mediu de ordinul a \(10^{-14}\ \text{s}\) pare infim, dar
este exact ce garantează că regimul staționar se instalează, practic,
instantaneu: după doar câteva asemenea intervale, viteza de drift și-a
atins deja valoarea de echilibru \(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\).

Cât de departe ajunge, de fapt, un electron între două ciocniri?
Înmulțind timpul liber mediu cu viteza \emph{reală} (nu de drift, ci
viteza termică haotică) a electronilor într-un metal, de ordinul
\(v \approx 1{,}6\times 10^{6}\ \text{m/s}\), obținem drumul liber
mediu:

\[\ell = v\,\tau \approx (1{,}6\times 10^{6})(2{,}5\times 10^{-14}) \approx 4\times 10^{-8}\ \text{m} = 40\ \text{nm},\]

adică aproximativ \(150\) de distanțe interatomice (spațierea ionilor în
cupru este de ordinul a \(0{,}26\ \text{nm}\)). Rezultatul e
surprinzător pentru un model bazat pe ``ciocniri'' individuale
electron-ion: un electron care s-ar lovi cu adevărat de fiecare ion
întâlnit în cale n-ar putea parcurge o sută cincizeci de asemenea
distanțe fără să fie oprit. Explicația corectă este cuantică -
electronul se comportă ca o undă, iar o undă care traversează o rețea
\emph{perfect} periodică nu este deloc împrăștiată; numai abaterile de
la periodicitate (vibrațiile termice ale ionilor, impuritățile)
împrăștie electronul cu adevărat. Modelul Lorentz-Drude, deși clasic,
surprinde totuși corect forma finală a legii
\(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), chiar dacă mecanismul microscopic
exact al ciocnirilor rămâne, în detaliu, un fenomen cuantic, dincolo de
cadrul acestui curs.

O observație importantă, care arată limitele modelului:
\textbf{supraconductorii nu respectă relația
\(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\)}. Sub o temperatură critică,
rezistivitatea lor devine practic nulă, iar un curent poate persista
fără niciun câmp electric care să-l întrețină - o comportare pe care
modelul Lorentz-Drude, construit pe ciocniri individuale electron-rețea,
nu o poate explica. Fenomenul are, la fel, o origine pur cuantică,
dincolo de cadrul acestui curs.

\subsubsection{Intensitatea și câmpul în sârme de grosimi
diferite}\label{intensitatea-ux219i-cuxe2mpul-uxeen-suxe2rme-de-grosimi-diferite}

Din \(\vec{\jmath} = e\,n\,\mu\,\vec{E}\) și \(I = j\cdot S\) rezultă
\(I = e\,n\,S\,\mu\,E\). Când conductoarele sunt puse în serie,
\(I = \text{const}\). Pentru materiale identice (\(n\), \(\mu\) egale):

\[E_1 S_1 = E_2 S_2 = \text{const}.\]

Deci densitatea de curent și câmpul sunt \textbf{mai mari în sârmele
subțiri} (\(j_1 > j_2\) - analog pentru orice număr de conductoare în
serie cu secțiuni crescătoare), deși intensitatea \(I\) rămâne aceeași.

Analogia hidraulică este utilă aici: e ca și cum am forța același debit
de apă printr-o conductă care se îngustează pe alocuri - acolo unde
secțiunea e mai mică, apa trebuie să curgă mai repede (aici, sub un
gradient de potențial, respectiv un câmp electric, mai intens) ca să
transporte, în fiecare secundă, exact același volum ca porțiunea largă.

De exemplu, trei fire din același material, legate în serie, cu secțiuni
crescătoare \(S_1 = 0{,}5\ \text{mm}^2\), \(S_2 = 1{,}5\ \text{mm}^2\)
și \(S_3 = 3\ \text{mm}^2\), au aceleași \(n\) și \(\mu\), deci
\(E_1 S_1 = E_2 S_2 = E_3 S_3\). Rezultă

\[E_1 : E_2 : E_3 = \frac{1}{S_1} : \frac{1}{S_2} : \frac{1}{S_3} = 6 : 2 : 1,\]

adică firul cel mai subțire (\(S_1\)) are un câmp (și o densitate de
curent) de șase ori mai intens decât firul cel mai gros (\(S_3\)), deși
prin toate trei trece, în fiecare moment, exact același curent \(I\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) E mai intens în sârme subțiri (serie, I = const)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c10_sarme_sectiune_diferita.png}}
\caption{(3D) E mai intens în sârme subțiri (serie, I = const)}
\end{figure}

\subsubsection{Sinteză (formule de
referință)}\label{sintezux103-formule-de-referinux21bux103}

Recapitulăm lanțul complet de relații stabilit până acum, de la mișcarea
microscopică a unui singur electron cuasi-liber până la legea locală a
lui Ohm:

\[\vec{\jmath} = -e\,n\,\vec{v}_d, \quad \vec{v}_d = -\mu\vec{E}, \quad \mu = \frac{e\tau}{m}, \quad \vec{\jmath} = e\,n\,\mu\,\vec{E}, \quad \sigma = e\,n\,\mu, \quad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{1}{\rho}\vec{E}.\]

\subsection{Legea lui Ohm (formă integrală) și
rezistența}\label{legea-lui-ohm-formux103-integralux103-ux219i-rezistenux21ba}

Am stabilit legea lui Ohm în forma ei locală,
\(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), valabilă punct cu punct în interiorul
conductorului. Trecem acum la forma ei istorică și integrală - cea cu
care lucrează, de fapt, un inginer la bancul de măsură, exprimată direct
în mărimi ușor de citit pe un aparat: tensiune și curent.

\textbf{Legea lui Ohm} (Georg Simon Ohm, 1826): pentru materialele
\textbf{ohmice}, dependența dintre intensitate \(I\) și tensiune
\(U = V_A - V_B\) este o dreaptă.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c10_dreapta_IU_ohmic.svg}}
\caption{Graficul I(U) pentru un material ohmic: dreapta trece prin
origine cu panta 1/R; punctul de construcție (U₀, I₀) ilustrează
definiția rezistenței.}
\end{figure}

Microscopic, un material este \emph{ohmic} atunci când conductivitatea
lui \(\sigma\) (deci și \(\rho = 1/\sigma\)) nu depinde de câmpul
\(\vec{E}\) aplicat - exact situația surprinsă de formula
\(\sigma = e n \mu\) de mai sus, în care nimic din membrul drept (\(e\),
\(n\), \(\mu\)) nu se schimbă atunci când \(\vec{E}\) variază. Metalele
sunt materiale ohmice într-un domeniu enorm de câmpuri, ceea ce explică
de ce modelul Lorentz-Drude le descrie atât de bine; alte materiale
(joncțiunile semiconductoare, gazele ionizate) nu sunt ohmice deloc, iar
pentru ele nu există o rezistență unică, independentă de curent.

Este o distincție istorică demnă de remarcat: Ohm a descoperit această
regularitate pur empiric, în 1826, măsurând curenți și tensiuni fără să
aibă vreo idee despre electroni sau despre rețele cristaline -
electronul avea să fie descoperit abia în 1897, de J. J. Thomson.
Explicația microscopică de mai sus, prin modelul Lorentz-Drude, a venit
aproape opt decenii mai târziu. Este un exemplu tipic al modului în care
progresează adesea fizica: întâi legea empirică, verificată experimental
cu precizie, apoi mecanismul profund care o explică.

Pentru un conductor de lungime \(l\) și secțiune constantă \(S\), cu
\(\vec{E}\) constant în interior, integrând de-a lungul liniei de câmp:

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int_A^B E\,|d\vec{r}|\cos 0 = E\int_A^B |d\vec{r}| = E\,l.\]

Deci \(V_A - V_B = E\,l\) (câmpul = diferența de potențial pe unitatea
de lungime). Definim \textbf{rezistența electrică}:

\[R \overset{\text{def}}{=} \frac{V_A - V_B}{I}.\]

Folosind \(\vec{\jmath} = \frac{1}{\rho}\vec{E}\) și
\(j = \frac{I}{S}\), avem \(\frac{I}{S} = \frac{E}{\rho}\), deci
\(I = \frac{S\,E}{\rho}\). Atunci:

\[R = \frac{E\,l}{I} = \frac{E\,l}{\dfrac{S\,E}{\rho}} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;R = \rho\,\frac{l}{S}\;}\]

Raportul dintre tensiune și curent este o constantă. Rezistența este
\textbf{direct proporțională cu lungimea} și \textbf{invers
proporțională cu aria secțiunii}, \(\rho\) fiind inversul
conductivității.

De ce anume crește \(R\) cu \(l\) și scade cu \(S\)? Rezistivitatea
\(\rho\) este o proprietate strict locală a materialului - aceeași în
orice punct al firului, indiferent de forma lui -, dar rezistența \(R\)
este o proprietate a \emph{întregului obiect}. Un fir mai lung înseamnă,
pur și simplu, mai mult drum de-a lungul căruia trebuie menținut același
câmp \(E\) (deci aceeași cădere de tensiune pe unitatea de lungime) ca
să treacă același curent - tensiunea totală necesară, \(U = El\), crește
proporțional cu \(l\), deci și \(R = U/I\). O secțiune mai mare, în
schimb, oferă mai multe ``canale'' paralele prin care poate trece
curentul simultan: pentru aceeași densitate de curent \(j\) (deci
același câmp \(E = \rho j\)), o secțiune mai largă transportă un curent
total \(I = jS\) mai mare, ceea ce înseamnă o rezistență mai mică.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Legea lui Ohm integrală: U = RI și R = rho,l/S}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c10_ohm_integrala_rezistenta.png}}
\caption{Legea lui Ohm integrală: U = RI și R = rho,l/S}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu: rezistența unui fir de
cupru}\label{exemplu-rezistenux21ba-unui-fir-de-cupru}

\textbf{Date:} fir de cupru de lungime \(l = 100\ \text{m}\) și secțiune
constantă \(S = 2\ \text{mm}^2 = 2\times 10^{-6}\ \text{m}^2\), cu
rezistivitatea
\(\rho_{\text{Cu}} \approx 1{,}7\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\).

\textbf{Cerință:} rezistența electrică \(R\) a firului.

\textbf{Rezolvare:} direct din formula dedusă mai sus,

\[
\begin{aligned}
R &= \rho\,\frac{l}{S} \\[2pt]
&= \bigl(1{,}7\times 10^{-8}\bigr)\times\frac{100}{2\times 10^{-6}} \\[2pt]
&= \bigl(1{,}7\times 10^{-8}\bigr)\times\bigl(5\times 10^{7}\bigr) = 0{,}85\ \Omega.
\end{aligned}
\]

\[\boxed{\;R \approx 0{,}85\ \Omega\;}\]

O rezistență mică, așa cum se cuvine unui fir de conexiune: la un curent
de câțiva amperi, căderea de tensiune pe el (\(U = RI\)) rămâne
neglijabilă. Același fir, dacă ar trebui folosit ca element încălzitor,
ar fi complet nepotrivit - pentru asta se aleg aliaje cu rezistivitate
de zeci de ori mai mare (nichelina, de exemplu, are
\(\rho \approx 1{,}1\times 10^{-6}\ \Omega\cdot\text{m}\), de peste
șaizeci de ori mai mare decât a cuprului), tocmai ca o bucată scurtă de
fir să concentreze o rezistență utilă.

\subsubsection{Conductor cu secțiune
variabilă}\label{conductor-cu-secux21biune-variabilux103}

Formula \(R = \rho\,l/S\) dedusă mai sus rămâne valabilă chiar dacă
firul e îndoit sau șerpuit, atât timp cât secțiunea \(S\) rămâne
constantă de-a lungul lui - \(l\) fiind, în acest caz, lungimea măsurată
\emph{de-a lungul} firului, nu distanța în linie dreaptă dintre capete.
Ceea ce schimbă lucrurile cu adevărat este o secțiune care
\emph{variază} pe parcursul conductorului (de exemplu, un fir care se
îngustează treptat, ca o pâlnie, sau invers).

Pentru un asemenea conductor, cu secțiune variabilă, formula
\(R = \rho\,l/S\) nu mai poate fi aplicată direct; rezistența se scrie
în general ca

\[R = \rho \times (\text{factor geometric}).\]

Ideea din spatele acestei formule generale devine precisă dacă tratăm
conductorul ca pe o înșiruire de felii infinitezimale, fiecare de
grosime \(dl\) și secțiune locală \(A(l)\), deci de rezistență
infinitezimală \(dR = \rho\,dl/A(l)\); însumând (integrând) toate
feliile de-a lungul lui obținem rezistența totală:

\[\boxed{\;R = \int \rho\,\frac{dl}{A(l)}\;}\]

formă care se reduce exact la \(R = \rho\,l/S\) atunci când secțiunea
\(A(l) = S\) este constantă și poate fi scoasă în afara integralei.

\subsection{Efectul Joule}\label{efectul-joule}

În Cursul 9 am numit deja \textbf{efectul Joule} energia disipată prin
ciocnirile permanente ale electronilor aflați în drift cu rețeaua de
ioni a metalului, amânând explicația ei exactă pentru cursul de față.
Mecanismul e chiar cel din inima modelului Lorentz-Drude: între două
ciocniri, câmpul accelerează electronul și îi mărește energia cinetică;
la ciocnire, acest surplus de energie nu dispare, ci este predat ionului
rețelei, care vibrează ceva mai intens - la scară macroscopică, această
agitație suplimentară a rețelei este căldura.

Puterea cedată de câmp unui singur electron, între două ciocniri, este
produsul dintre forța electrică \(\vec{F} = -e\vec{E}\) și viteza lui
medie de drift \(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\):

\[\vec{F}\cdot\vec{v}_d = (-e\vec{E})\cdot(-\mu\vec{E}) = e\,\mu\,E^2,\]

o mărime pozitivă, de vreme ce cei doi vectori sunt paraleli (ambii
orientați opus lui \(\vec{E}\), căci electronul e negativ). Cu \(n\)
electroni în fiecare unitate de volum, puterea disipată pe unitatea de
volum este

\[p = n\,e\,\mu\,E^2 = (e\,n\,\mu)\,E^2 = \sigma E^2,\]

folosind relația \(\sigma = e\,n\,\mu\) stabilită mai sus. Cum
\(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), aceeași putere volumică se scrie și
\(p = \vec{\jmath}\cdot\vec{E}\); iar cu
\(\vec{E} = \rho\,\vec{\jmath}\) devine \(p = \rho\,j^2\):

\[\boxed{\;p = \vec{\jmath}\cdot\vec{E} = \sigma E^2 = \rho\,j^2\;} \qquad \left(\text{putere pe unitatea de volum, în } \frac{\text{W}}{\text{m}^3}\right).\]

Aceasta este \textbf{forma locală} a disipării Joule, valabilă punct cu
punct, exact ca legea lui Ohm din care derivă. Pentru forma ei globală,
integrăm \(p\) pe volumul unui conductor de lungime \(l\) și secțiune
constantă \(S\), unde \(\vec{\jmath}\) și \(\vec{E}\) sunt uniforme;
volumul este \(lS\), deci puterea totală disipată este

\[P = p\cdot(lS) = (jE)(lS) = (jS)(El) = I\,U,\]

folosind \(I = jS\) și \(U = El\), ambele stabilite mai sus. Cu legea
lui Ohm integrală \(U = RI\) obținem cele trei forme echivalente, uzuale
la bancul de măsură:

\[\boxed{\;P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}\;}\]

Spre deosebire de energia înmagazinată într-un condensator încărcat,
care poate fi recuperată integral la descărcare, energia disipată prin
efectul Joule este ireversibilă: odată transformată în căldură, ea nu se
mai poate întoarce ca energie electrică utilă - de aici și cele două
fețe ale efectului, deja amintite în Cursul 9: uneori căutată, ca
într-un radiator electric, alteori doar o pierdere de minimizat, ca în
firele unei linii de transport.

\subsubsection{Exemplu: puterea disipată în firul de
cupru}\label{exemplu-puterea-disipatux103-uxeen-firul-de-cupru}

\textbf{Date:} același fir de cupru de mai sus, cu
\(l = 100\ \text{m}\), \(S = 2\ \text{mm}^2\) și
\(R \approx 0{,}85\ \Omega\), parcurs acum de un curent
\(I = 5\ \text{A}\).

\textbf{Cerință:} puterea \(P\) disipată prin efectul Joule.

\textbf{Rezolvare:} direct din \(P = I^2R\):

\[P = I^2R = 5^2\times 0{,}85 = 25\times 0{,}85 = 21{,}25\ \text{W}.\]

\[\boxed{\;P \approx 21{,}25\ \text{W}\;}\]

O putere modestă, dar reală: chiar și un fir de conexiune bun, cu
rezistență mică, transformă neîncetat o parte din energia electrică
transportată în căldură - motiv pentru care, în instalațiile de putere,
se preferă fire groase (rezistență mică, deci pierderi mici), în timp ce
elementele încălzitoare aleg deliberat un material de rezistivitate
mare, ca nichelina de mai sus, tocmai ca să concentreze această disipare
acolo unde este utilă.

Rezistența \(R\), definită și calculată aici pentru un singur conductor,
devine în cursul următor elementul de bază al unor circuite întregi -
acolo învățăm cum se combină mai multe rezistoare, legate în serie sau
în paralel, într-o rezistență echivalentă unică.

\end{document}
