Cursul 12: Legătura dintre electricitate și magnetism. Biot-Savart. Maxwell

Oersted și inducția magnetică

În 1820, Hans Christian Oersted a descoperit legătura dintre electricitate și magnetism, în cazul sarcinilor electrice aflate în mișcare (un curent printr-o sârmă deviază acul unei busole).

Mărimea care descrie câmpul magnetic este inducția magnetică $\vec{B}$ , cu

$[B]_{\text{SI}} = \text{T (Tesla)}.$

Relația Biot-Savart

Câmpul produs de un curent de intensitate $I$ ce circulă pe conturul $\Gamma$ , într-un punct $P$ :

$\boxed{\;\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_\Gamma \frac{d\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}\;}$

unde $\mu_0$ este permeabilitatea magnetică a vidului:

$\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}.$

$I$ este intensitatea curentului prin contur, iar $d\vec{l}$ și $\vec{R}$ sunt vectorul element de contur, respectiv vectorul de poziție de la $d\vec{l}$ la punctul $P$ .

Ecuațiile lui Maxwell (1864)

Orice câmp magnetic care acționează asupra sarcinilor în mișcare poate fi caracterizat de sistemul:

$\boxed{\;\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \operatorname{div}\vec{B} = 0, \quad \operatorname{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\;}$

unde:

$\rho$ - densitatea volumică de sarcină într-un punct din spațiu;
$\varepsilon_0$ - permitivitatea electrică;
$\vec{\jmath}$ - densitatea de curent într-un punct;
$\vec{E}$ - câmpul electric;
$\vec{B}$ - inducția magnetică.

Reamintim operatorii diferențiali:

$\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z},$

$\operatorname{rot}\vec{E} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\vec{i} + \dots$

Unda electromagnetică

Din ecuațiile lui Maxwell se poate arăta că, atunci când au loc variații în timp ale câmpurilor electric și magnetic, ia naștere o undă electromagnetică care se propagă în vid cu viteza luminii:

$c = 3\cdot10^8\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.$

(Observație din curs: un foton este neutru; privit ca pereche $e^- + e^+$ , sarcinile se anulează: $-1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C} + 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C} = 0$ .)

Câmpul magnetic pe axa unei spire

Pentru o spiră circulară de rază $R$ , parcursă de curentul $I$ , inducția într-un punct $P(0, 0, z)$ de pe axă este:

$\boxed{\;B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}\;}$

În centrul spirei ( $z = 0$ ):

$B(0) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2\right)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2R}.$

Pentru o bobină cu $N$ spire, valorile se înmulțesc cu $N$ :

$B(z) = \frac{N\,\mu_0 I R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}, \qquad B(0) = \frac{N\,\mu_0 I}{2R}.$