Cursul 14: Tensiunea electromotoare. Legea lui Kirchhoff. Circuitul RC

Observație: prima pagină a scanului curs14.pdf (numerotată "-4-") aparține de fapt Cursului 13 (Legea lui Ohm, $R = \rho\,l/S$). Cursul 14 propriu-zis începe de la tensiunea electromotoare.

Tensiunea electromotoare și tensiunea la borne

O sursă reală are o tensiune electromotoare $\mathcal{E}$ și o rezistență internă $r$. Tensiunea la bornele ei, când debitează curentul $I$, este:

$\boxed{\;U_{AB} = V_A - V_B = \mathcal{E} - r\,I\;}$

mai mică decât tensiunea electromotoare. Relația provine din $\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$.

Regimul de acumulator

Pentru a reîncărca o baterie, forțăm curentul să treacă în sens invers (cu o sursă exterioară de tensiune mai mare). Procesele chimice se inversează (ex.: celule cu sulfat de zinc / sulfat de cupru, $\mathcal{E}_1 = 1{,}5\ \text{V}$, $\mathcal{E}_2 = 9\ \text{V}$). O baterie nu poate fi reîncărcată la infinit.

În regim de acumulator, parcurgând circuitul cu $\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$ se obține:

$V_A - V_B - r\,I = \mathcal{E}_1 \;\Rightarrow\; U_{AB} = \mathcal{E}_1 + r\,I \quad (U_{AB} > \mathcal{E}_1).$

Algoritm pentru $U_{AB}$ (căderi de tensiune)

Alegem arbitrar sensul curentului. Pe fiecare element, între bornele $A$ și $B$:

• Sursă (cu $+$ în sensul curentului $A\to B$): $V_A - V_B = \mathcal{E} - r\,I$; în sens opus: $V_A - V_B = \mathcal{E} + r\,I$.
• Rezistor (curent de la $B$ la $A$, de la potențial mare la mic): $V_B - V_A = R\,I$, deci $V_A - V_B = -R\,I$. Dacă nu e parcurs de curent, $r\,I = 0$.
• Condensator (sarcina $Q$ lângă $B$): $C = \dfrac{Q}{V_B - V_A} \Rightarrow V_B - V_A = \dfrac{Q}{C}$, deci $V_A - V_B = -\dfrac{Q}{C}$.

Legea lui Kirchhoff

Suma căderilor de tensiune pe un circuit închis este nulă - explicitarea relației $\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$:

$\boxed{\;\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0 \;\Leftrightarrow\; \sum_{\text{circuit închis}} (\text{căderi de tensiune}) = 0\;}$

De exemplu, pentru un circuit cu sursă $(\mathcal{E}, r)$, rezistor $R$ și condensator $C$, parcurgând bucla $A \to B \to M \to A$:

$\underbrace{(V_A - V_B)}_{-\mathcal{E} + rI} + \underbrace{(V_B - V_M)}_{R I} + \underbrace{(V_M - V_A)}_{Q/C} = 0,$

de unde ecuația circuitului:

$\mathcal{E} = I\,(r + R) + \frac{Q}{C}.$

Curentul orientat spre placa cu $+Q$ dă $I = +\dfrac{dQ}{dt}$; în sens invers, $I = -\dfrac{dQ}{dt}$.

Încărcarea și descărcarea condensatorului (prelucrarea datelor)

Pentru un circuit RC (sursă $\mathcal{E}$, întrerupător $k$, rezistor $R$, condensator $C$):

$\textbf{Încărcare:}\quad U_C = \mathcal{E}\left(1 - e^{-\frac{t}{(R+r)C}}\right), \qquad \textbf{Descărcare:}\quad U_C = \mathcal{E}\,e^{-\frac{t}{RC}}.$

La încărcare $U_C$ crește exponențial spre $\mathcal{E}$; la descărcare scade exponențial spre $0$.

Liniarizarea pentru verificarea experimentală

Măsurând $U_C$ în funcție de timp la descărcare și logaritmând:

$\frac{U_C}{\mathcal{E}} = e^{-\frac{t}{RC}} \;\Big|\ \ln \;\Rightarrow\; \boxed{\;\ln\!\left(\frac{U_C}{\mathcal{E}}\right) = -\frac{1}{RC}\,t\;}$

Reprezentând $\ln\!\left(\dfrac{U_C}{\mathcal{E}}\right)$ în funcție de $t$, punctele experimentale trebuie să se așeze pe o dreaptă de pantă $-\dfrac{1}{RC}$; dacă da, relația teoretică guvernează fenomenul.

(Referat: pentru încărcare se trasează graficul $U_C(t)$; pentru descărcare, două grafice - $U_C(t)$ și $\ln(U_C/\mathcal{E}) = f(t)$, verificând caracterul liniar.)