% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 14: Tensiunea electromotoare. Legea lui Kirchhoff. Circuitul RC},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 14: Tensiunea electromotoare. Legea lui Kirchhoff.
Circuitul RC}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{quote}
Observație: prima pagină a scanului \texttt{curs14.pdf} (numerotată
``-4-'') aparține de fapt Cursului 13 (Legea lui Ohm,
\(R = \rho\,l/S\)). Cursul 14 propriu-zis începe de la tensiunea
electromotoare.
\end{quote}

Continuăm electrocinetica: Cursul 10 a dedus legea lui Ohm,
\(R = \rho\,l/S\), pornind de la viteza de drift a electronilor într-un
metal (rezultat reluat în recapitularea din Cursul 13), iar Cursul 9 a
arătat că un curent electric permanent nu poate exista fără o sursă care
să \emph{strice}, în mod continuu, echilibrul electrostatic, menținând
un câmp electric nenul în interiorul conductorului. În acest curs
cuantificăm precis ce oferă o asemenea sursă: tensiunea ei
electromotoare și tensiunea, întotdeauna mai mică, disponibilă efectiv
la bornele ei. Stabilim apoi cele două legi ale lui Kirchhoff, ca
reformulări, pentru circuite, a două principii deja cunoscute:
conservarea sarcinii electrice (Cursul 9) și conservativitatea câmpului
electrostatic (Cursul 1). Încheiem aplicând totul unui circuit cu
condensator: încărcarea și descărcarea lui în timp, fenomenul din
spatele oricărui cronometru electronic sau bliț de aparat foto.

\subsection{Tensiunea electromotoare și tensiunea la
borne}\label{tensiunea-electromotoare-ux219i-tensiunea-la-borne}

O sursă reală (baterie, acumulator, generator) nu este un simplu
rezervor de sarcină, ci un dispozitiv care depune, neîncetat, lucru
mecanic asupra sarcinilor care o traversează, împingându-le de la borna
cu potențial mai mic la cea cu potențial mai mare, deci împotriva
câmpului electrostatic, exact sensul în care niciun rezistor nu ar
trimite vreodată sarcina. Agentul care realizează acest lucru mecanic nu
este de natură electrostatică: este o reacție chimică într-o baterie,
sau lucrul mecanic al unei turbine într-un generator. Numim
\textbf{tensiune electromotoare} (TEM) \(\mathcal{E}\) a sursei lucrul
mecanic efectuat de acest agent asupra unității de sarcină, la trecerea
ei prin sursă, de la borna \(-\) la borna \(+\); se măsoară tot în
volți, \(1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}\), deși, în ciuda numelui, este o
energie pe unitatea de sarcină, nu o forță.

Este esențial să nu confundăm tensiunea electromotoare cu o simplă
diferență de potențial. Diferența de potențial \(V_A - V_B\), așa cum a
fost definită în Cursul 1, este circulația câmpului electrostatic
\(\vec{E}\) de-a lungul unui drum, o mărime pur electrostatică.
Tensiunea electromotoare, în schimb, este produsă de un agent care nu
este deloc electrostatic, ci chimic sau mecanic; ea nu poate fi
calculată printr-o circulație a câmpului electrostatic \(\vec{E}\),
pentru că, lăsat singur, câmpul electrostatic din interiorul sursei nu
ar face decât să readucă sarcinile la echilibru, exact opusul a ceea ce
se întâmplă efectiv acolo. Cele două mărimi coincid numeric doar la
bornele unei surse ideale aflate în gol: acolo unde nu circulă niciun
curent, tensiunea electromotoare a sursei este chiar diferența de
potențial măsurată la borne, așa cum vedem imediat mai jos.

O sursă ideală ar menține între borne exact diferența de potențial
\(\mathcal{E}\), indiferent de curentul debitat. Nicio sursă reală nu
poate face asta: sarcina trebuie să străbată și materialul propriu al
sursei (electrolitul unei baterii, înfășurările unui generator), iar
acest material opune o \textbf{rezistență internă} \(r\). O sursă reală
are, deci, o tensiune electromotoare \(\mathcal{E}\) și o rezistență
internă \(r\), legate în serie; tensiunea la bornele ei, când debitează
curentul \(I\) către circuitul exterior, este cea pe care o calculăm mai
jos.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c14_sursa_tem.svg}}
\caption{Schema sursei reale în regim de debitare: tensiunea
electromotoare ℰ cu rezistența internă r în serie, bornele A și B,
curentul I și relația U\_AB = ℰ - rI (tensiune la borne mai mică decât
t.e.m.).}
\end{figure}

Pentru a o găsi, plimbăm o sarcină de test o dată în jurul buclei (sursă
și rezistorul extern) și aplicăm conservativitatea câmpului
electrostatic stabilită în Cursul 1:
\(\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\). Împărțim bucla în două
porțiuni: prin sursă (intern), unde agentul chimic ridică potențialul
sarcinii cu \(\mathcal{E}\), dar rezistența internă i-l coboară înapoi
cu \(r\,I\); și prin exterior, unde sarcina cedează exact diferența de
potențial rămasă disponibilă la borne, \(U_{AB} = V_A - V_B\). Parcurse
consecutiv pe bucla închisă, cele două contribuții trebuie să se
anuleze, \(\mathcal{E} - rI - U_{AB} = 0\), de unde direct tensiunea la
borne:

\[\boxed{\;U_{AB} = V_A - V_B = \mathcal{E} - r\,I\;}\]

mereu mai mică decât tensiunea electromotoare, de îndată ce sursa
debitează curent: diferența \(rI\) este exact energia cheltuită de
sarcină pentru a-și croi drum prin materialul rezistiv propriu al
sursei, energie care nu ajunge niciodată la circuitul exterior. Cele
două valori coincid numai la mersul în gol, \(I=0\) (circuit deschis),
caz în care \(U_{AB} = \mathcal{E}\): fără curent, nu există nicio
cădere pe \(r\). La celălalt capăt, scurtcircuitând sursa (\(R\to 0\),
deci \(U_{AB}\to 0\)), curentul urcă la valoarea maximă posibilă,
\(I_{sc} = \mathcal{E}/r\), iar toată energia furnizată de sursă se
disipă, sub formă de căldură, chiar în interiorul ei, motivul pentru
care o baterie scurtcircuitată se încălzește, uneori periculos. O sursă
bună are \(r\) mult mai mică decât rezistența utilă \(R\) a circuitului
exterior, astfel încât aproape întreaga tensiune electromotoare ajunge,
efectiv, la consumator.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Tensiunea electromotoare și tensiunea la borne U = mathcal E - rI}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c14_tem_tensiune_borne.png}}
\caption{Tensiunea electromotoare și tensiunea la borne U = mathcal E -
rI}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu: tensiunea la bornele unei baterii
reale}\label{exemplu-tensiunea-la-bornele-unei-baterii-reale}

\textbf{Date:} o baterie cu tensiunea electromotoare
\(\mathcal{E} = 12\ \text{V}\) și rezistența internă
\(r = 0{,}4\ \Omega\) alimentează un rezistor \(R = 5{,}6\ \Omega\).

\textbf{Cerință:} intensitatea curentului debitat, tensiunea la bornele
bateriei, și ce s-ar întâmpla dacă bateria ar fi scurtcircuitată.

\textbf{Rezolvare:} combinăm tensiunea la borne
\(U_{AB} = \mathcal{E} - rI\) (stabilită mai sus) cu legea lui Ohm pe
rezistorul extern, \(U_{AB} = RI\); egalând, \(\mathcal{E} - rI = RI\),
adică \(\mathcal{E} = I\,(R+r)\), deci

\[I = \frac{\mathcal{E}}{R+r} = \frac{12}{5{,}6+0{,}4} = \frac{12}{6} = 2\ \text{A}.\]

Tensiunea la borne este
\(U_{AB} = \mathcal{E} - rI = 12 - 0{,}4\times2 = 11{,}2\ \text{V}\),
aceeași valoare ca \(RI = 5{,}6\times2 = 11{,}2\ \text{V}\) (verificare
încrucișată: tensiunea la borne este chiar tensiunea de pe rezistorul
extern).

\[\boxed{\;I = 2\ \text{A}, \qquad U_{AB} = 11{,}2\ \text{V}\;}\]

La scurtcircuit (\(R\to0\)), curentul ar sări la
\(I_{sc} = \mathcal{E}/r = 12/0{,}4 = 30\ \text{A}\), iar tensiunea la
borne s-ar prăbuși la \(0\): întreaga putere debitată s-ar disipa în
interiorul bateriei, motiv pentru care o baterie scurtcircuitată se
încălzește periculos și se poate deteriora.

\subsubsection{Regimul de acumulator}\label{regimul-de-acumulator}

Pentru a \textbf{reîncărca} o baterie descărcată, o conectăm la o sursă
externă de tensiune mai mare decât propria ei TEM și forțăm curentul să
treacă prin ea în sens invers față de regimul normal de debitare descris
mai sus. Procesele chimice interne se inversează: la o baterie cu
electrozi în soluții de sulfat de zinc și sulfat de cupru, legate
printr-o punte de legătură între cele două soluții, ionii sunt forțați
să intre în sensul nenatural, opus celui în care ar curge spontan (de
exemplu, o celulă cu \(\mathcal{E}_1 = 1{,}5\ \text{V}\) reîncărcată de
la o sursă cu \(\mathcal{E}_2 = 9\ \text{V}\)). Sursa externă nu doar
oprește reacția chimică ce produce, spontan, tensiunea electromotoare a
celulei, ci o rulează efectiv înapoi: energia electrică furnizată de
sursa externă este \emph{stocată} în baterie, nu cheltuită de ea, exact
opusul regimului de debitare. O baterie nu poate fi reîncărcată la
nesfârșit: fiecare ciclu chimic de încărcare-descărcare este puțin
imperfect, iar capacitatea ei utilă scade treptat. Este exact mecanismul
din spatele oricărui încărcător de telefon sau de baterie auto: un
circuit electronic care impune, controlat, un curent invers prin
celulele reîncărcabile, oprindu-se la timp, înainte ca vreo reacție
chimică ireversibilă să deterioreze bateria.

Parcurgând circuitul de reîncărcare cu
\(\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\), la fel ca mai sus, dar cu
sensul curentului \(I\) acum inversat prin baterie, se obține:

\[V_A - V_B - r\,I = \mathcal{E}_1 \;\Rightarrow\; U_{AB} = \mathcal{E}_1 + r\,I \quad (U_{AB} > \mathcal{E}_1).\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c14_acumulator_reincarcere.svg}}
\caption{Acumulatorul în regim de reîncărcare: o sursă exterioară U\_ext
\textgreater{} ℰ impune curentul în sens invers prin celulă, iar
tensiunea la borne devine U\_AB = ℰ + rI (mai mare decât t.e.m.).}
\end{figure}

De data aceasta tensiunea la borne depășește tensiunea electromotoare:
sursa externă trebuie să învingă atât TEM-ul propriu al bateriei
\(\mathcal{E}_1\), care în acest regim ``împinge înapoi'', cât și
căderea suplimentară \(rI\) pe rezistența internă, pe care sarcina
forțată tot trebuie să o traverseze. Acesta este motivul, valabil pentru
orice încărcător, pentru care tensiunea de încărcare a unei baterii este
întotdeauna mai mare decât tensiunea ei electromotoare nominală.

\subsection{Algoritmul căderilor de
tensiune}\label{algoritmul-cux103derilor-de-tensiune}

Într-un circuit oarecare nu cunoaștem, de cele mai multe ori, dinainte,
sensul real în care curge curentul printr-o anumită ramură. Soluția
practică este să \textbf{alegem arbitrar} un sens pentru \(I\) pe
fiecare ramură, să aplicăm consecvent, cu acel sens ales, rețetele de
mai jos, iar dacă rezultatul numeric final iese negativ, înseamnă pur și
simplu că sensul real este opus celui presupus: algebra corectează
singură o alegere greșită de sens, fără să fie nevoie să reluăm
calculul. Alegem, deci, arbitrar sensul curentului \(I\) și scriem, pe
fiecare element întâlnit între bornele \(A\) și \(B\):

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{Sursă} (cu \(+\) în sensul curentului \(A\to B\)):
  \(V_A - V_B = \mathcal{E} - r\,I\); în sens opus:
  \(V_A - V_B = \mathcal{E} + r\,I\).
\item
  \textbf{Rezistor} (curent de la \(B\) la \(A\), de la potențial mare
  la mic): \(V_B - V_A = R\,I\), deci \(V_A - V_B = -R\,I\). Dacă ramura
  nu este parcursă de curent, termenul respectiv se anulează.
\item
  \textbf{Condensator} (sarcina \(Q\) lângă \(B\)):
  \(C = \frac{Q}{V_B - V_A} \Rightarrow V_B - V_A = \frac{Q}{C}\), deci
  \(V_A - V_B = -\frac{Q}{C}\).
\end{itemize}

Aceste trei rețete, aplicate consecvent de-a lungul unui drum de la
\(A\) la \(B\), dau tensiunea \(U_{AB}\) a oricărui circuit, oricât de
complicat, indiferent de câte surse, rezistoare și condensatoare
conține. Însumate în jurul unei bucle închise întregi, aceleași căderi
de tensiune stau la baza celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, discutată
în continuare.

\subsection{Legile lui Kirchhoff}\label{legile-lui-kirchhoff}

Numim generic \textbf{legile lui Kirchhoff} două rezultate deja
stabilite, în alte forme, în cursurile anterioare: una este conservarea
sarcinii electrice, aplicată acum unui nod de circuit; cealaltă este
conservativitatea câmpului electrostatic, aplicată unei bucle închise.
Ambele devin, pentru un circuit, simple reguli de contabilitate: la un
nod, curenții se echilibrează; pe o buclă, tensiunile se echilibrează.

\subsubsection{Legea I a lui Kirchhoff (legea
nodurilor)}\label{legea-i-a-lui-kirchhoff-legea-nodurilor}

Un \textbf{nod} este un punct în care se întâlnesc mai multe fire ale
unui circuit - în general trei sau mai multe, acolo unde curentul se
poate ramifica. Fizic, un nod este o regiune de dimensiune neglijabilă:
el nu poate acumula sarcină electrică, spre deosebire, de exemplu, de o
armătură de condensator. Această observație este exact ipoteza de regim
staționar din ecuația de continuitate (Cursul 9): trasăm în jurul
nodului o mică suprafață închisă \(\Sigma\), tăiată doar de firele care
intră și ies din el, iar sarcina cuprinsă în interior, fiind neglijabilă
și constantă, dă \(dQ/dt = 0\). Ecuația de continuitate în formă
integrală, \(\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = -dQ/dt\),
devine atunci un flux net nul prin \(\Sigma\): exact același argument
folosit deja în Cursul 9 pentru a arăta că intensitatea este aceeași
prin orice secțiune a unui tub de curent, generalizat acum de la două
capete la oricâte fire se întâlnesc într-un nod. Fiecare astfel de flux
parțial, prin secțiunea unui singur fir, este chiar intensitatea \(I_k\)
a acelui fir (definiția intensității ca flux al lui \(\vec{\jmath}\),
tot din Cursul 9). Cu convenția ca un curent care intră în nod să fie
numărat pozitiv și unul care iese, negativ:

\[\boxed{\;\sum_{\text{nod}} I_k = 0\;}\]

\textbf{legea I a lui Kirchhoff}, numită și \textbf{legea nodurilor}:
suma curenților care intră într-un nod este egală cu suma celor care
ies. Am folosit deja acest rezultat, fără demonstrație, în Cursul 11, la
deducerea relației dintre curenții \(I_1, I_2, I_3\) ai unei conexiuni
stea; argumentul de mai sus, pornind direct de la conservarea sarcinii
electrice, este demonstrația ei riguroasă. De exemplu, într-un nod în
care intră doi curenți \(I_1, I_2\) și iese un al treilea, \(I_3\),
legea nodurilor dă direct \(I_1 + I_2 - I_3 = 0\), adică
\(I_3 = I_1 + I_2\): tot ce intră, iese, un curent ``pierdut'' într-un
nod fiind, ca și sarcina din care e format, o imposibilitate fizică.

\subsubsection{Legea a II-a a lui Kirchhoff (legea
ochiurilor)}\label{legea-a-ii-a-a-lui-kirchhoff-legea-ochiurilor}

Aceasta este algoritmul căderilor de tensiune de mai sus, dus până la
capăt: dacă parcurgem un \textbf{ochi} (o buclă închisă a circuitului)
însumând, pe rând, căderile de tensiune pe fiecare element întâlnit,
suma trebuie să se închidă exact la \(0\), pentru că plecăm și ne
întoarcem în același punct, deci la același potențial. Este chiar
conservativitatea câmpului electrostatic din Cursul 1,
\(\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\), explicitată acum element cu
element, cu ajutorul rețetelor stabilite mai sus:

\[\boxed{\;\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0 \;\Leftrightarrow\; \sum_{\text{ochi}} (\text{căderi de tensiune}) = 0\;}\]

\textbf{legea a II-a a lui Kirchhoff}, numită și \textbf{legea
ochiurilor} (sau legea tensiunilor). De exemplu, pentru un circuit cu o
sursă \((\mathcal{E}, r)\), un rezistor \(R\) și un condensator \(C\),
toate în serie, parcurgem bucla \(A \to B \to M \to A\), folosind exact
rețetele de la fiecare element:

\[\underbrace{(V_A - V_B)}_{-\mathcal{E} + rI} + \underbrace{(V_B - V_M)}_{R I} + \underbrace{(V_M - V_A)}_{Q/C} = 0,\]

de unde ecuația circuitului:

\[\mathcal{E} = I\,(r + R) + \frac{Q}{C}.\]

Rămâne de fixat un ultim detaliu de semn: curentul \(I\) din această
ecuație este pozitiv atunci când e orientat spre placa încărcată cu
\(+Q\) a condensatorului, adică atunci când chiar încarcă condensatorul,
\(I = +\frac{dQ}{dt}\); în sens opus, \(I = -\frac{dQ}{dt}\). Convenția
devine esențială mai jos, unde \(I\) și \(Q\) nu mai sunt constante, ci
variază efectiv în timp.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Legea Kirchhoff: oint vec Ecdot dvec r = 0 Rightarrow sum(căderi) = 0}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c14_kirchhoff_ochi.png}}
\caption{Legea Kirchhoff: oint vec Ecdot dvec r = 0 Rightarrow
sum(căderi) = 0}
\end{figure}

Pentru o rețea cu mai multe ochiuri independente, legea a doua se scrie
pentru fiecare ochi în parte, exact ca mai sus; împreună cu legea
nodurilor scrisă pentru fiecare nod al rețelei, cele două legi ale lui
Kirchhoff formează un sistem de ecuații liniare care determină complet
toți curenții necunoscuți ai unui circuit, oricât de complicat.

\subsection{Circuitul RC: încărcarea și descărcarea
condensatorului}\label{circuitul-rc-uxeencux103rcarea-ux219i-descux103rcarea-condensatorului}

Un condensator nu își poate schimba sarcina instantaneu: sarcina ajunge
pe armăturile lui cărată de un curent, iar acel curent este limitat de
rezistența prin care trebuie să treacă, ceea ce cere timp. De aceea
tensiunea și curentul dintr-un circuit cu condensator nu sar direct la
valoarea finală atunci când închidem un întrerupător, ci alunecă spre ea
treptat, de-a lungul unei curbe exponențiale al cărei ritm îl determinăm
acum. Aplicăm legea a doua a lui Kirchhoff exact unui asemenea circuit:
sursă \((\mathcal{E}, r)\), întrerupător \(k\), rezistor \(R\) și
condensator \(C\), toate în serie. Așa cum am semnalat deja în Cursul 9,
ipoteza regimului staționar (\(\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\),
sarcină constantă în timp) nu se mai poate folosi aici: pe măsură ce
condensatorul se încarcă sau se descarcă, sarcina de pe armăturile lui
variază explicit cu timpul. Tocmai acest regim tranzitoriu îl analizăm
în continuare.

\subsubsection{Încărcarea
condensatorului}\label{uxeencux103rcarea-condensatorului}

La închiderea întrerupătorului, în momentul \(t=0\), condensatorul este
descărcat, \(U_C(0) = 0\). Ecuația circuitului stabilită mai sus,
\(\mathcal{E} = I(r+R) + \frac{Q}{C}\), rămâne valabilă în orice moment
\(t>0\), cu deosebirea că acum \(I\) și \(Q\) variază cu timpul. Cu
\(Q = CU_C\) și \(I = \frac{dQ}{dt} = C\,\frac{dU_C}{dt}\) (curentul
orientat spre placa cu \(+Q\), deci pozitiv la încărcare; capacitatea
\(C\) fiind constantă), ecuația devine o ecuație diferențială pentru
\(U_C(t)\):

\[
\begin{aligned}
\mathcal{E} &= (R+r)\,C\,\frac{dU_C}{dt} + U_C \\[4pt]
\frac{dU_C}{dt} &= -\frac{1}{(R+r)C}\left(U_C - \mathcal{E}\right)
\end{aligned}
\]

Este o ecuație de \textbf{relaxare exponențială} către o valoare țintă,
aici \(\mathcal{E}\), tensiunea finală la care curentul de încărcare se
oprește (\(dU_C/dt = 0\)). Aceeași structură matematică, o mărime care
se apropie exponențial de un punct de echilibru cu o viteză
proporțională cu distanța rămasă până la el, guvernează multe alte
procese de relaxare din fizică, de la răcirea unui corp cald până la
dezintegrarea radioactivă; constanta de timp \((R+r)C\) joacă aici exact
rolul pe care îl joacă, în acele fenomene, timpul de înjumătățire sau
constanta de răcire. Separăm variabilele și integrăm de la \(0\) la
\(t\), cu \(U_C(0)=0\):

\[
\begin{aligned}
\int_0^{U_C} \frac{dU_C'}{U_C' - \mathcal{E}} &= -\int_0^{t} \frac{dt'}{(R+r)C} \\[4pt]
\ln\!\left(\frac{U_C - \mathcal{E}}{-\mathcal{E}}\right) &= -\frac{t}{(R+r)C}
\end{aligned}
\]

de unde, ridicând la exponențială și rearanjând:

\[\boxed{\;U_C(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-\frac{t}{(R+r)C}}\right)\;}\]

La momentul inițial condensatorul e gol și nu opune nicio tensiune, deci
curentul pornește la valoarea maximă posibilă,
\(I(0) = \mathcal{E}/(R+r)\), ca și cum condensatorul nici n-ar fi în
circuit; pe măsură ce sarcina se acumulează, tensiunea ei crește și se
opune tot mai mult sursei, curentul scade, iar \(U_C\) se apropie
asimptotic (fără a o atinge exact la vreun moment finit) de valoarea
finală \(\mathcal{E}\).

\subsubsection{Descărcarea
condensatorului}\label{descux103rcarea-condensatorului}

Odată încărcat, scoatem sursa din circuit (de exemplu, printr-o a doua
poziție a întrerupătorului \(k\)), lăsând condensatorul să se descarce
doar prin \(R\). Bucla rămasă conține numai \(R\) și \(C\):
condensatorul, acționând acum el însuși ca sursă, împinge curentul prin
\(R\), deci \(U_C = R\,I\), cu \(I\) curentul de descărcare, pozitiv în
sensul în care sarcina scade. Cum sarcina scade,
\(I = -\frac{dQ}{dt} = -C\,\frac{dU_C}{dt}\):

\[
\begin{aligned}
U_C &= -RC\,\frac{dU_C}{dt} \\[4pt]
\frac{dU_C}{dt} &= -\frac{U_C}{RC}
\end{aligned}
\]

Separând și integrând, cu \(U_C(0) = \mathcal{E}\) (condensatorul
complet încărcat la sfârșitul fazei anterioare):

\[\ln\!\left(\frac{U_C(t)}{\mathcal{E}}\right) = -\frac{t}{RC} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;U_C(t) = \mathcal{E}\,e^{-\frac{t}{RC}}\;}\]

Rezistența internă \(r\) nu mai apare: sursa fiind scoasă din buclă,
sarcina nu mai are de străbătut interiorul ei, ci doar rezistorul extern
\(R\). Dacă sursa este una bună, cu \(r\) mult mai mică decât \(R\),
cele două exponențiale au, practic, aceeași ``viteză'': constanta
\((R+r)C\) de la încărcare devine, cu bună aproximație, tot \(RC\).
Figura animată de mai jos reprezintă chiar acest caz idealizat - o sursă
fără rezistență internă (\(r = 0\)) -, unde constanta de timp este
\(\tau = RC\) la ambele faze. Numim, în general, \(\tau\)
\textbf{constanta de timp} a circuitului (\(\tau = (R+r)C\) la
încărcare, \(\tau = RC\) la descărcare): după exact un \(\tau\), curba
de încărcare a acoperit \(1-e^{-1}\approx 0{,}63\) din drumul până la
valoarea finală, iar curba de descărcare a coborât la
\(e^{-1}\approx 0{,}37\) din valoarea inițială. După aproximativ
\(5\tau\), exponențiala practic dispare (\(e^{-5}\approx 0{,}007\)), iar
regimul tranzitoriu poate fi considerat, în orice scop practic,
încheiat.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Circuitul RC: încărcare și descărcare U\_C(t)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c14_rc_incarcare_descarcare.png}}
\caption{Circuitul RC: încărcare și descărcare U\_C(t)}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu: constanta de timp a unui circuit
RC}\label{exemplu-constanta-de-timp-a-unui-circuit-rc}

\textbf{Date:} un condensator \(C = 10\ \mu\text{F}\), inițial
descărcat, se încarcă printr-un rezistor \(R = 200\ \text{k}\Omega\) de
la o sursă cu \(\mathcal{E} = 15\ \text{V}\) și rezistență internă
neglijabilă. La \(t=0\) se închide întrerupătorul.

\textbf{Cerință:} (a) constanta de timp \(\tau\) a circuitului; (b)
tensiunea pe condensator după un timp \(t=\tau\); (c) după cât timp
\(U_C\) atinge \(99\%\) din \(\mathcal{E}\)?

\textbf{Rezolvare:} (a) cu \(r\approx0\),

\[\tau = RC = (200\times10^{3})(10\times10^{-6}) = 2\ \text{s}.\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  la \(t=\tau\), indiferent de valorile particulare ale lui \(R\) și
  \(C\) (regula generală a constantei de timp):
\end{enumerate}

\[U_C(\tau) = \mathcal{E}\left(1-e^{-1}\right) = 15\times0{,}632 \approx 9{,}5\ \text{V}.\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  punem condiția \(U_C(t) = 0{,}99\,\mathcal{E}\):
\end{enumerate}

\[1-e^{-t/\tau} = 0{,}99 \;\Rightarrow\; e^{-t/\tau} = 0{,}01 \;\Rightarrow\; t = \tau\ln100 = 2\times4{,}605 \approx 9{,}2\ \text{s},\]

adică puțin peste \(4\tau\), confirmând regula practică folosită în
inginerie: după \(5\tau\) regimul tranzitoriu poate fi considerat
încheiat.

\[\boxed{\;\tau = 2\ \text{s}, \qquad U_C(\tau)\approx 9{,}5\ \text{V}, \qquad t_{99\%}\approx 9{,}2\ \text{s}\;}\]

Dacă, o dată complet încărcat, condensatorul s-ar descărca prin același
\(R\) (sursa scoasă din circuit), constanta de timp ar rămâne
\(\tau = RC = 2\ \text{s}\), iar după un \(\tau\) tensiunea ar coborî la
\(37\%\) din valoarea inițială,
\(15\times0{,}368\approx5{,}5\ \text{V}\).

\subsubsection{Liniarizarea pentru verificarea
experimentală}\label{liniarizarea-pentru-verificarea-experimentalux103}

Măsurând experimental \(U_C\) în funcție de timp, la descărcare, și
logaritmând relația teoretică:

\[\frac{U_C}{\mathcal{E}} = e^{-\frac{t}{RC}} \;\Big|\ \ln \;\Rightarrow\; \boxed{\;\ln\!\left(\frac{U_C}{\mathcal{E}}\right) = -\frac{1}{RC}\,t\;}\]

Reprezentând \(\ln(U_C/\mathcal{E})\) în funcție de \(t\), punctele
experimentale ar trebui să se așeze pe o \textbf{dreaptă} de pantă
\(-1/RC\), dacă (și numai dacă) relația teoretică guvernează cu adevărat
fenomenul măsurat. Este un truc experimental recurent: o lege
exponențială, greu de ``citit cu ochiul liber'' pe un grafic obișnuit,
devine, logaritmată, o simplă dreaptă, a cărei aliniere (sau nealiniere)
a punctelor experimentale se poate verifica dintr-o privire, iar panta
ei citită direct dă constanta de timp \(RC\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Liniarizarea: ln(U\_C/mathcal E) = -t/RC (dreaptă)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c14_linearizare_log.png}}
\caption{Liniarizarea: ln(U\_C/mathcal E) = -t/RC (dreaptă)}
\end{figure}

\subsubsection{Ce se trece în referatul de
laborator}\label{ce-se-trece-uxeen-referatul-de-laborator}

La redactarea referatului, protocolul experimental cerut este următorul:
pentru încărcare se trasează un singur grafic, \(U_C(t)\); pentru
descărcare, două grafice, atât \(U_C(t)\) direct, cât și liniarizarea
\(\ln(U_C/\mathcal{E})\) în funcție de \(t\), verificând, prin alinierea
(sau nu) punctelor experimentale pe o dreaptă, dacă ecuația teoretică
guvernează cu adevărat descărcarea măsurată.

\end{document}
