Cursul 13: Electrocinetica (recapitulare). Legea lui Ohm

Notație: în acest curs $\sigma$ este conductivitatea, iar $\rho$ rezistivitatea.

Tipuri de curenți

Orice mișcare a unui corp încărcat electric este un curent electric. După natura corpurilor:

1. Curenți de convecție - asociați mișcării corpurilor macroscopice electrizate.
2. Curenți de drift / conducție - produși de deplasarea particulelor sub acțiunea exclusivă a câmpului electric.
3. Curenți de difuzie - cauzați de diferența de concentrație dintre particule, nu de câmpul electric.

Curenții prin sârmele metalice sunt curenți de drift.

Curentul prin conductori metalici

La echilibru electrostatic, electronii cuasi-liberi (de valență) au viteze haotice cu $\sum_i \vec{v}_i = 0$, $\vec{E} = 0$ în interior, $V = \text{const}$ și $\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$.

Dacă stricăm echilibrul, apare $\vec{E} \neq 0$ și electronii capătă o mișcare de tip START-STOP (accelerare între ciocnirile de rețeaua cristalină), caracterizată de viteza de drift $\vec{v}_d$.

Viteza de drift

Cu $\tau$ timpul liber mediu între două ciocniri, viteza căpătată înainte de ciocnire este $\vec{v}_d = \vec{a}\,\tau$. Din $m\vec{a} = -e\vec{E}$:

$\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m} \;\Rightarrow\; \vec{v}_d = -\frac{e\tau}{m}\,\vec{E} \;\Rightarrow\; \boxed{\;\vec{v}_d = -\mu\,\vec{E}\;}, \quad \mu = \frac{e\tau}{m}, \quad [\mu]_{\text{SI}} = \frac{\text{m}^2}{\text{V}\cdot\text{s}}.$

Densitatea de curent

Într-un conductor omogen și izotrop, în intervalul $\Delta t$ trec prin secțiunea $S$ toate sarcinile din cilindrul de înălțime $\Delta X = v_d\,\Delta t$. Cu $\Delta q = \rho\,S\,\Delta X$:

$j = \frac{\Delta q}{\Delta t\,S} = \rho\,v_d \;\Rightarrow\; \vec{\jmath} = \rho\,\vec{v}_d = n q\,\vec{v}_d, \qquad n = \frac{N}{V}.$

Folosind $\vec{v}_d = -\mu\vec{E}$ (cu $q = -e$):

$\vec{\jmath} = n e \mu\,\vec{E} = \sigma\vec{E}, \qquad \sigma = n e \mu, \qquad \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{n e \mu}, \qquad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{\vec{E}}{\rho}.$

$\sigma$ și $\rho$ sunt constante de material; $\vec{\jmath}$ și $\vec{E}$ au aceeași orientare.

Legea lui Ohm

Când conductoarele sunt în serie, intensitatea $I$ rămâne constantă. Din $j = \sigma E$ și $I = jS$ rezultă $I = \sigma S E = \text{const}$, deci $S\,E = \text{const}$: câmpul este mai intens în sârmele subțiri.

Pentru un conductor de lungime $l$ cu $\vec{E}$ constant în interior:

$V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} = E\,l \;\Rightarrow\; E = \frac{V_A - V_B}{l} = \frac{U_{AB}}{l}.$

Din $U_{AB} = R\,I$ și $U_{AB} = E\,l$, cu $I = \sigma S E$:

$R\,(\sigma S E) = E\,l \;\Rightarrow\; \boxed{\;R = \frac{l}{S}\cdot\frac{1}{\sigma} = \rho\,\frac{l}{S}\;}$

Materialele pentru care dependența $I(U)$ este liniară se numesc materiale ohmice.