% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{longtable,booktabs,array}
\newcounter{none} % for unnumbered tables
\usepackage{calc} % for calculating minipage widths
% Correct order of tables after \paragraph or \subparagraph
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\longtable{\par}{\if@noskipsec\mbox{}\fi\par}{}{}
\makeatother
% Allow footnotes in longtable head/foot
\IfFileExists{footnotehyper.sty}{\usepackage{footnotehyper}}{\usepackage{footnote}}
\makesavenoteenv{longtable}
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 13: Electrocinetică (recapitulare). Legea lui Ohm},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 13: Electrocinetică (recapitulare). Legea lui Ohm}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{quote}
Notație: ca și în Cursul 10, în acest curs \(\sigma\) este
\textbf{conductivitatea} electrică, iar \(\rho\) este
\textbf{rezistivitatea} (nu densitatea de sarcină din primele cursuri).
\end{quote}

Cursurile 8-10 au construit, etapă cu etapă, tabloul complet al
electrocineticii staționare: Cursul 8 a definit curentul electric și
densitatea de curent \(\vec{\jmath}\), alături de clasificarea
curenților după natura corpurilor purtătoare de sarcină; Cursul 9 a
ridicat \(\vec{\jmath}\) la rangul de mărime locală guvernată de ecuația
de continuitate (indestructibilitatea sarcinii electrice) și a descris
``marea de electroni'' a unui metal - haotică și fără curent net la
echilibru electrostatic; Cursul 10 a explicat, prin modelul
Lorentz-Drude, cum acea mare de electroni capătă o mișcare de ansamblu,
viteza de drift \(\vec{v}_d\), de îndată ce echilibrul electrostatic
este stricat, și a urcat de acolo, pas cu pas, până la legea lui Ohm -
întâi în forma ei locală, \(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), apoi în
forma ei integrală, \(U = RI\).

Cursul de față este o oprire de sinteză, chiar înaintea trecerii la
circuite propriu-zise (gruparea rezistoarelor, Cursul 11; sursele și
legile lui Kirchhoff, Cursul 14): reface lanțul complet de relații,
insistă pe legăturile dintre etapele lui și îl încheie cu un exemplu
care folosește simultan toate verigile lanțului. Pentru derivările
complete, cu fiecare pas intermediar, trimitem mereu înapoi la Cursurile
8-10; aici ne oprim asupra ideii de ansamblu, nu asupra fiecărui calcul
algebric în parte. Lanțul însuși, de la mișcarea unui singur electron
cuasi-liber până la rezistența măsurată la bancul de lucru, este:

\[\vec{v}_d = -\mu\,\vec{E}, \quad \vec{\jmath} = n\,q\,\vec{v}_d = \sigma\vec{E}, \quad I = \int_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS, \quad U_{AB} = R\,I, \quad R = \rho\,\frac{l}{S}.\]

\subsection{Tipuri de curenți
(recapitulare)}\label{tipuri-de-curenux21bi-recapitulare}

Orice mișcare a unui corp încărcat electric este un curent electric
(Cursul 8). După natura corpurilor implicate, curenții se împart în trei
clase:

{\def\LTcaptype{none} % do not increment counter
\begin{longtable}[]{@{}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Tip
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Cauza mișcării sarcinii
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Relație
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Exemplu tipic
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
\textbf{Convecție} & mișcarea mecanică a corpului încărcat, ca întreg &
\(I = dQ/dt\), calculat direct din mișcarea macroscopică & banda unui
generator Van de Graaff \\
\textbf{Drift / conducție} & forța câmpului electric aplicat,
\(\vec{F} = q\vec{E}\) & \(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\) (legea lui Ohm
locală) & fire metalice, plasmă, semiconductori sub câmp \\
\textbf{Difuzie} & gradientul de concentrație al purtătorilor, fără
intervenția câmpului & nu se cuantifică (nici în Cursul 8) &
semiconductor cu dopaj neuniform \\
\end{longtable}
}

Cele trei mecanisme au fost introduse în Cursul 8 - convecția și driftul
cu exemple numerice, difuzia doar calitativ; ceea ce merită reținut aici
este mai ales legătura dintre ele. Toate trei sunt cazuri particulare
ale aceleiași relații generale dintre densitatea de curent și viteza
medie a purtătorilor, stabilite în Cursul 8 - ceea ce diferă de la un
tip la altul este exclusiv \emph{cauza} care produce această viteză
medie, nu forma legăturii dintre densitatea de curent și ea.

Curenții prin sârmele metalice - obiectul restului acestui curs, ca și
al Cursurilor 9-10 - sunt curenți de \textbf{drift}: câmpul electric
aplicat la capetele firului este singura cauză a mișcării lor ordonate.

\subsection{Curentul prin conductori
metalici}\label{curentul-prin-conductori-metalici}

Reconstruim, pe scurt, drumul parcurs de electronii de conducție: de la
mișcarea lor haotică la echilibru, prin ruperea acestui echilibru, până
la viteza de drift și densitatea de curent care rezultă din ea.

\subsubsection{De la echilibrul electrostatic la
neechilibru}\label{de-la-echilibrul-electrostatic-la-neechilibru}

La echilibru electrostatic (Cursurile 4-5), electronii cuasi-liberi
(electronii de valență) ai unui metal au viteze individuale haotice, dar
suma lor este nulă (Cursul 9):

\[\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{\jmath} = 0,\]

iar restul tabloului de echilibru, stabilit riguros în Cursurile 4-5,
rămâne neschimbat: câmpul electric este nul în interior
(\(\vec{E} = 0\)), potențialul este constant pe tot conductorul
(\(V = \text{const}\)), iar circulația câmpului pe orice buclă este
nulă, \(\oint \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\).

Dacă stricăm acest echilibru - de exemplu conectând conductorul la o
sursă exterioară -, apare un câmp \(\vec{E} \neq 0\) în interiorul
metalului, iar între două puncte \(A\), \(B\) diferența de potențial
devine

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r},\]

independentă de drumul ales (Cursul 1), cu \(\vec{E}\) orientat dinspre
potențialul mai mare spre cel mai mic (\(V_A > V_B\)). Așa cum am arătat
riguros în Cursul 9, un asemenea neechilibru nu poate fi întreținut
decât de o sursă (tensiune electromotoare) care redistribuie permanent
electronii liberi; fără ea, orice curent este strict tranzitoriu, iar
conductorul revine, aproape instantaneu, la echilibrul electrostatic
descris mai sus.

\subsubsection{Viteza de drift: modelul Lorentz-Drude
(recapitulare)}\label{viteza-de-drift-modelul-lorentz-drude-recapitulare}

Sub acțiunea câmpului \(\vec{E} \neq 0\), fiecare electron cuasi-liber
este accelerat de forța \(\vec{F} = -e\vec{E}\); mișcarea ar fi
permanent accelerată dacă n-ar întâmpina nicio piedică, dar electronul
se ciocnește repetat de nodurile rețelei cristaline, care îi anulează,
în medie, viteza câștigată, după care câmpul îl accelerează din nou.
Rezultă mișcarea de tip \textbf{START - STOP - START - STOP} descrisă pe
larg în Cursul 10, echivalentă, la nivel de ansamblu, cu o translație de
viteză medie constantă - \textbf{viteza de drift} \(\vec{v}_d\) -,
similară unei mașini care accelerează mereu de la zero între semafoare
roșii distribuite la întâmplare pe traseu, dar nu atinge niciodată
viteza pe care ar avea-o pe o șosea complet liberă.

Notând cu \(\tau\) timpul liber mediu între două ciocniri succesive,
forma prescurtată a argumentului din Cursul 10 (unde demonstrăm riguros,
însumând peste cei \(N\) electroni, că vitezele de ``plecare'' de după
fiecare ciocnire au media nulă) reține doar rezultatul final: viteza
dobândită de un electron, în medie, înainte de ciocnirea următoare, este
\(\vec{v}_d = \vec{a}\,\tau\), cu accelerația dată de legea a doua a lui
Newton, \(m\vec{a} = -e\vec{E}\):

\[\vec{a} = -\frac{e}{m}\vec{E} \quad\Rightarrow\quad \vec{v}_d = \vec{a}\,\tau = -\frac{e\tau}{m}\,\vec{E} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{v}_d = -\mu\,\vec{E}\;}, \qquad \mu = \frac{e\tau}{m}, \qquad [\mu]_{\text{SI}} = \frac{\text{m}^2}{\text{V}\cdot\text{s}}.\]

\(\mu\) este \textbf{mobilitatea electrică} a electronilor cuasi-liberi:
cu cât drumul liber mediu (deci \(\tau\)) este mai mare, cu atât un câmp
dat produce o viteză de drift mai mare - semnătura unui metal mai bun
conducător, legătură pe care o reface exact secțiunea următoare.

\subsubsection{Densitatea de curent
(recapitulare)}\label{densitatea-de-curent-recapitulare}

Într-un conductor omogen și izotrop, purtătorii de sarcină (concentrația
\(n\), sarcina \(q\) fiecare) se deplasează cu viteza de drift
\(\vec{v}_d\). În intervalul \(\Delta t\), prin secțiunea \(S\)
(perpendiculară pe curgere) trec exact sarcinile conținute în cilindrul
de înălțime \(\Delta X = v_d\,\Delta t\) - cazul particular, cu unghiul
\(\alpha = 0\), al construcției cu paralelipipedul oblic din Cursul 8:

\[\Delta q = n\,q\,S\,\Delta X = n\,q\,S\,v_d\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad j = \frac{\Delta q}{\Delta t\,S} = n\,q\,v_d \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{\jmath} = n\,q\,\vec{v}_d\;},\]

exact particularizarea, pentru un fascicul de purtători discreți
identici, a relației generale dintre densitatea de curent și viteza
medie a purtătorilor, stabilită în Cursul 8. Pentru electronii de
conducție (\(q = -e\)) și cu \(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\) de mai sus:

\[\vec{\jmath} = (-e)\,n\,(-\mu\vec{E}) = n\,e\,\mu\,\vec{E} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\;}, \qquad \sigma = n\,e\,\mu, \qquad \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{1}{n\,e\,\mu}, \qquad \vec{\jmath} = \sigma\vec{E} = \frac{\vec{E}}{\rho}.\]

\(\sigma\) (conductivitatea) și \(\rho\) (rezistivitatea) sunt constante
de material, iar \(\vec{\jmath}\) și \(\vec{E}\) au aceeași orientare:
aceasta este \textbf{legea lui Ohm în formă locală}, valabilă punct cu
punct în interiorul oricărui material ohmic (definit riguros mai jos).

\subsection{Legea lui Ohm (formă integrală).
Rezistența}\label{legea-lui-ohm-formux103-integralux103.-rezistenux21ba}

Când mai multe conductoare sunt legate în serie, intensitatea \(I\)
rămâne aceeași prin fiecare dintre ele - consecință directă a ecuației
de continuitate în regim staționar,
\(\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\), demonstrată riguros în Cursul 9.
Dacă, în plus, conductoarele sunt din același material
(\(\sigma = \text{const}\)), din \(I = jS = \sigma S E\) rezultă
\(S E = \text{const}\) de-a lungul lor: așa cum am arătat cu cifre
concrete în Cursul 10, câmpul (și densitatea de curent) este \textbf{mai
intens în sârmele subțiri} - exemplul integrator de mai jos reface acest
calcul cu valori numerice.

Pentru un conductor de lungime \(l\) și secțiune constantă \(S\), cu
\(\vec{E}\) constant în interior, integrând de-a lungul liniei de câmp:

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} = E\,l \quad\Rightarrow\quad U_{AB} = E\,l.\]

Definind rezistența \(R \overset{\text{def}}{=} U_{AB}/I\) și folosind
\(I = jS = \sigma S E\):

\[R = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{E\,l}{\sigma S E} = \frac{l}{\sigma S} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;R = \rho\,\frac{l}{S}\;}\]

aceasta fiind \textbf{legea lui Ohm} în forma ei istorică și integrală,
\(U_{AB} = R\,I\), familiară din liceu. Este exact lanțul
microscopic-macroscopic - de la viteza de drift a electronilor până la
\(R = \rho\,l/S\) - pe care îl reconstruiește, pas cu pas, animația de
mai jos.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Lanțul de derivare: vecjmath to sigmavec E to R = rho,l/S}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c13_lant_derivare_ohm.png}}
\caption{Lanțul de derivare: vecjmath to sigmavec E to R = rho,l/S}
\end{figure}

Pentru un conductor cu secțiune variabilă, formula de mai sus nu se mai
poate aplica direct pe toată lungimea lui; ea rămâne valabilă doar
local, pe felii infinitezimale de rezistență \(dR = \rho\,dl/A(l)\),
care se însumează (Cursul 10) în \(R = \int \rho\,dl/A(l)\).

\subsection{Materiale ohmice}\label{materiale-ohmice}

Materialele pentru care dependența \(I(U)\) este liniară se numesc
\textbf{materiale ohmice}. Pentru ele, așa cum am arătat în Cursul 10,
conductivitatea \(\sigma\) (deci și \(\rho\)) nu depinde de câmpul
aplicat \(\vec{E}\) - exact ipoteza ascunsă în formula
\(\sigma = n\,e\,\mu\) de mai sus, unde nimic din membrul drept nu se
schimbă atunci când \(\vec{E}\) variază. Metalele sunt ohmice într-un
interval enorm de câmpuri; joncțiunile semiconductoare sau gazele
ionizate, în schimb, nu sunt ohmice deloc, iar pentru ele nu există o
rezistență unică, independentă de curent.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Dreapta I(U) pentru material ohmic}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c13_dreapta_IU_ohmic.png}}
\caption{Dreapta I(U) pentru material ohmic}
\end{figure}

\subsection{Sinteză: tabelul relațiilor
electrocineticii}\label{sintezux103-tabelul-relaux21biilor-electrocineticii}

{\def\LTcaptype{none} % do not increment counter
\begin{longtable}[]{@{}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\linewidth - 6\tabcolsep) * \real{0.2500}}@{}}
\toprule\noalign{}
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Mărime
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Relație
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Unitate SI
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
Stabilită în
\end{minipage} \\
\midrule\noalign{}
\endhead
\bottomrule\noalign{}
\endlastfoot
Viteza de drift & \(\vec{v}_d = -\mu\vec{E}\), \(\mu = e\tau/m\) &
\(\text{m/s}\) & Cursul 10 \\
Densitatea de curent &
\(\vec{\jmath} = n\,q\,\vec{v}_d = \sigma\vec{E}\) & \(\text{A/m}^2\) &
Cursurile 8, 10 \\
Intensitatea curentului &
\(I = \int_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS\) (uniform: \(I = jS\)) &
\(\text{A}\) & Cursul 9 \\
Ecuația de continuitate & \(\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\) (regim
staționar) & \(\text{A/m}^3\) & Cursul 9 \\
Conductivitate / rezistivitate & \(\sigma = n\,e\,\mu\),
\(\rho = 1/\sigma\) & \((\Omega\cdot\text{m})^{-1}\) /
\(\Omega\cdot\text{m}\) & Cursul 10 \\
Rezistența & \(R = \rho\,l/S\) & \(\Omega\) & Cursul 10 \\
Puterea disipată (Joule) & \(p = \vec{\jmath}\cdot\vec{E} = \rho\,j^2\);
\(P = UI = I^2R\) & \(\text{W/m}^3\) / \(\text{W}\) & Cursurile 9-10 \\
\end{longtable}
}

\subsection{Exemplu integrator: un conductor din două tronsoane de
cupru}\label{exemplu-integrator-un-conductor-din-douux103-tronsoane-de-cupru}

\textbf{Date:} un conductor de cupru format din două tronsoane înseriate
- tronsonul 1, mai gros, și tronsonul 2, mai subțire -, parcurs de
curentul \(I = 2\ \text{A}\):

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  tronsonul 1: lungime \(l_1 = 3\ \text{m}\), secțiune
  \(S_1 = 1\ \text{mm}^2 = 10^{-6}\ \text{m}^2\);
\item
  tronsonul 2: lungime \(l_2 = 1\ \text{m}\), secțiune
  \(S_2 = 0{,}5\ \text{mm}^2 = 0{,}5\times 10^{-6}\ \text{m}^2\).
\end{itemize}

Rezistivitatea cuprului este
\(\rho \approx 1{,}7\times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}\), concentrația
electronilor liberi \(n \approx 8{,}5\times 10^{28}\ \text{m}^{-3}\)
(valori standard pentru cupru, folosite și în Cursul 10), iar sarcina
elementară \(e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}\).

\textbf{Cerință:} densitatea de curent, câmpul electric și viteza de
drift în fiecare tronson; rezistența fiecărui tronson și a ansamblului;
tensiunea la bornele fiecărui tronson și puterea disipată prin efectul
Joule.

\textbf{Rezolvare:}

\emph{Pasul 1 - densitatea de curent (continuitate, Cursul 9).} Fiind în
serie, cele două tronsoane sunt parcurse de același curent \(I\)
(ecuația de continuitate în regim staționar, Cursul 9). Cu secțiunile
perpendiculare pe curgere, \(I = jS\):

\[j_1 = \frac{I}{S_1} = \frac{2}{10^{-6}} = 2\times 10^{6}\ \frac{\text{A}}{\text{m}^2}, \qquad j_2 = \frac{I}{S_2} = \frac{2}{0{,}5\times 10^{-6}} = 4\times 10^{6}\ \frac{\text{A}}{\text{m}^2} = 2\,j_1,\]

exact comportamentul ``sârmă subțire \(\Rightarrow\) densitate de curent
mai mare'' stabilit calitativ în Cursul 10.

\emph{Pasul 2 - viteza de drift (modelul Drude, Cursul 10).} Din
\(j = n\,e\,v_d\):

\[v_{d1} = \frac{j_1}{n\,e} = \frac{2\times 10^{6}}{(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})} \approx 1{,}47\times 10^{-4}\ \text{m/s} \approx 0{,}15\ \text{mm/s},\]

\[v_{d2} = \frac{j_2}{n\,e} \approx 2{,}94\times 10^{-4}\ \text{m/s} \approx 0{,}29\ \text{mm/s} = 2\,v_{d1}.\]

Electronii curg de două ori mai repede prin tronsonul subțire, dar tot
la o viteză derizorie - aceeași scară de mărime găsită și în Cursul 10.

\emph{Pasul 3 - câmpul electric (legea lui Ohm locală).} Din
\(\vec{\jmath} = \vec{E}/\rho\):

\[E_1 = \rho\,j_1 = (1{,}7\times 10^{-8})(2\times 10^{6}) = 0{,}034\ \text{V/m}, \qquad E_2 = \rho\,j_2 = 0{,}068\ \text{V/m} = 2\,E_1.\]

\emph{Pasul 4 - rezistența fiecărui tronson și rezistența ansamblului
(legea lui Ohm integrală).}

\[R_1 = \rho\,\frac{l_1}{S_1} = (1{,}7\times 10^{-8})\,\frac{3}{10^{-6}} = 0{,}051\ \Omega, \qquad R_2 = \rho\,\frac{l_2}{S_2} = (1{,}7\times 10^{-8})\,\frac{1}{0{,}5\times 10^{-6}} = 0{,}034\ \Omega.\]

Fiind în serie, rezistențele se adună (rezultat pe care îl vom demonstra
riguros abia în Cursul 11):

\[R = R_1 + R_2 = 0{,}051 + 0{,}034 = \boxed{\;0{,}085\ \Omega\;}.\]

\emph{Pasul 5 - tensiunea pe fiecare tronson.} Din \(U = RI\)
(echivalent, \(U_k = E_k\,l_k\)):

\[U_1 = R_1 I = 0{,}051\times 2 = 0{,}102\ \text{V}, \qquad U_2 = R_2 I = 0{,}034\times 2 = 0{,}068\ \text{V},\]

\[U_{AB} = U_1 + U_2 = R\,I = 0{,}085\times 2 = 0{,}17\ \text{V}.\]

\emph{Pasul 6 - puterea disipată (efectul Joule, Cursul 10).} Din
\(P = I^2 R\) pentru fiecare tronson:

\[P_1 = I^2 R_1 = 4\times 0{,}051 = 0{,}204\ \text{W}, \qquad P_2 = I^2 R_2 = 4\times 0{,}034 = 0{,}136\ \text{W}, \qquad P = P_1 + P_2 = 0{,}34\ \text{W}.\]

Deși tronsonul subțire este de trei ori mai scurt (1 m față de 3 m) și
disipă, per total, mai puțină putere (0,136 W față de 0,204 W),
densitatea lui de putere disipată este de patru ori mai mare:

\[p_1 = \rho\,j_1^2 \approx 6{,}8\times 10^{4}\ \frac{\text{W}}{\text{m}^3}, \qquad p_2 = \rho\,j_2^2 \approx 2{,}72\times 10^{5}\ \frac{\text{W}}{\text{m}^3} = 4\,p_1,\]

pentru că \(p \propto j^2\), iar \(j_2 = 2\,j_1\). Fiecare centimetru
cub din tronsonul subțire se încălzește de patru ori mai tare decât
fiecare centimetru cub din cel gros - exact principiul din spatele unei
siguranțe fuzibile: cea mai subțire porțiune a unui circuit este mereu
cea care se supraîncălzește (și, eventual, se topește) prima.

Exemplul de mai sus reface, cu cifre concrete, întregul lanț de relații
al electrocineticii staționare - de la viteza microscopică de drift a
unui electron, până la rezistența și puterea disipată ale unui conductor
real - și pregătește terenul pentru Cursul 11, unde \(R = R_1 + R_2\)
(folosit mai sus fără demonstrație) devine un rezultat general, valabil
pentru orice număr de rezistoare legate în serie sau în paralel.

\end{document}
