% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 12: Legătura dintre electricitate și magnetism. Biot-Savart. Maxwell},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 12: Legătura dintre electricitate și magnetism.
Biot-Savart. Maxwell}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Oersted și inducția
magnetică}\label{oersted-ux219i-inducux21bia-magneticux103}

În \textbf{1820}, Hans Christian Oersted a descoperit legătura dintre
electricitate și magnetism, în cazul sarcinilor electrice aflate în
mișcare (un curent printr-o sârmă deviază acul unei busole).

Mărimea care descrie câmpul magnetic este \textbf{inducția magnetică}
\(\vec{B}\), cu

\[[B]_{\text{SI}} = \text{T (Tesla)}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c12_ampere_loop.svg}}
\caption{Câmpul magnetic B formează linii circulare în jurul
conductorului parcurs de curentul I (regula mâinii drepte).}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Oersted: firul cu curent deviază busola}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_oersted_busola.png}}
\caption{(3D) Oersted: firul cu curent deviază busola}
\end{figure}

\subsection{Relația Biot-Savart}\label{relaux21bia-biot-savart}

Câmpul produs de un curent de intensitate \(I\) ce circulă pe conturul
\(\Gamma\), într-un punct \(P\):

\[\boxed{\;\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_\Gamma \frac{d\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}\;}\]

unde \(\mu_0\) este \textbf{permeabilitatea magnetică a vidului}:

\[\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}.\]

\(I\) este intensitatea curentului prin contur, iar \(d\vec{l}\) și
\(\vec{R}\) sunt vectorul element de contur, respectiv vectorul de
poziție de la \(d\vec{l}\) la punctul \(P\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Biot-Savart: contribuția elementului dvec l}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_biot_savart_element.png}}
\caption{(3D) Biot-Savart: contribuția elementului dvec l}
\end{figure}

\subsection{Ecuațiile lui Maxwell
(1864)}\label{ecuaux21biile-lui-maxwell-1864}

Câmpurile electrice și magnetice sunt descrise complet de sistemul
ecuațiilor lui Maxwell:

\[
\left\{\;\begin{aligned}
\operatorname{div}\vec{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \operatorname{div}\vec{B} &= 0, \\[6pt]
\operatorname{rot}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & \operatorname{rot}\vec{B} &= \mu_0\!\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)
\end{aligned}\;\right.
\]

Ecuația \(\operatorname{div}\vec{B} = 0\) reflectă absența monopolilor
magnetici: liniile câmpului magnetic se închid întotdeauna pe ele
însele, fără surse sau puțuri.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c12_div_B_zero.svg}}
\caption{Liniile câmpului magnetic ale unui magnet bară se închid pe ele
însele, fără surse sau puțuri: în exterior merg de la polul N la polul
S, iar prin interior de la S la N, ilustrând ecuația div B = 0.}
\end{figure}

unde:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\rho\) - densitatea volumică de sarcină într-un punct din spațiu;
\item
  \(\varepsilon_0\) - permitivitatea electrică;
\item
  \(\vec{\jmath}\) - densitatea de curent într-un punct;
\item
  \(\vec{E}\) - câmpul electric;
\item
  \(\vec{B}\) - inducția magnetică.
\end{itemize}

Reamintim operatorii diferențiali:

\[\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z},\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(2D) Divergența: izvoare și puțuri ale câmpului}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_divergenta.png}}
\caption{(2D) Divergența: izvoare și puțuri ale câmpului}
\end{figure}

\[\operatorname{rot}\vec{E} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\vec{i} + \dots\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(2D) Rotorul (curl): rotația locală a câmpului}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_rotor.png}}
\caption{(2D) Rotorul (curl): rotația locală a câmpului}
\end{figure}

Forma integrală a ecuațiilor lui Maxwell se obține aplicând teorema lui
Stokes (pentru forma cu rot) și teorema divergenței (pentru forma cu
div):

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(2D) Fluxul și forma integrală a legii lui Gauss}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_flux.png}}
\caption{(2D) Fluxul și forma integrală a legii lui Gauss}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(2D) Teorema lui Stokes: rotor și circulație}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_stokes.png}}
\caption{(2D) Teorema lui Stokes: rotor și circulație}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(2D) Teorema divergenței (Gauss-Ostrogradski)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_teorema_divergentei.png}}
\caption{(2D) Teorema divergenței (Gauss-Ostrogradski)}
\end{figure}

\subsubsection{Unda electromagnetică}\label{unda-electromagneticux103}

Din ecuațiile lui Maxwell se poate arăta că, atunci când au loc variații
în timp ale câmpurilor electric și magnetic, ia naștere o \textbf{undă
electromagnetică} care se propagă în vid cu viteza luminii:

\[c = 3\cdot10^8\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Unda electromagnetică: vec E perp vec B perp vec c}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_unda_em.png}}
\caption{(3D) Unda electromagnetică: vec E perp vec B perp vec c}
\end{figure}

\emph{(Observație din curs: un foton este neutru din punct de vedere
electric, sarcina electrică totală fiind \(0\).)}

\subsection{Câmpul magnetic pe axa unei
spire}\label{cuxe2mpul-magnetic-pe-axa-unei-spire}

Pentru o spiră circulară de rază \(R\), parcursă de curentul \(I\),
inducția într-un punct \(P(0, 0, z)\) de pe axă este:

\[\boxed{\;B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}\;}\]

În centrul spirei (\(z = 0\)):

\[B(0) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2\right)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2R}.\]

Pentru o bobină cu \(N\) spire, valorile se înmulțesc cu \(N\):

\[B(z) = \frac{N\,\mu_0 I R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}, \qquad B(0) = \frac{N\,\mu_0 I}{2R}.\]

Graficul \(B(z)\) are un maxim în \(z = 0\) și scade simetric la
depărtarea de spiră.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Câmpul magnetic pe axa spirei B(z)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_camp_spira_B_z.png}}
\caption{(3D) Câmpul magnetic pe axa spirei B(z)}
\end{figure}

\end{document}
