% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 9: Intensitatea curentului. Ecuația de continuitate. Curenți prin metale},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 9: Intensitatea curentului. Ecuația de continuitate.
Curenți prin metale}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

Continuăm studiul electrocineticii început în Cursul 8: după ce am
definit acolo densitatea de curent \(\vec{\jmath}\), trecem acum la
intensitatea curentului electric - mărimea măsurată de fapt de orice
ampermetru -, la principiul ei fundamental, conservarea sarcinii
electrice, exprimat riguros prin \textbf{ecuația de continuitate}, și la
mecanismul microscopic al conducției prin metale, materialul din care
sunt confecționate aproape toate firele conductoare ale circuitelor
uzuale.

\subsection{Intensitatea curentului ca flux al densității de
curent}\label{intensitatea-curentului-ca-flux-al-densitux103ux21bii-de-curent}

Reluăm densitatea de curent
\(\vec{\jmath} = \rho\,\vec{v} = n q\,\vec{v}\), cu
\(\frac{\Delta q}{\Delta t} = \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,\Delta S\),
relație care provine, așa cum am arătat în Cursul 8, din sarcina
conținută într-un mic paralelipiped oblic de bază \(\Delta S\) și
generatoare \(\vec{v}\,\Delta t\).

Densitatea de curent \(\vec{\jmath}\) descrie curgerea sarcinii punct cu
punct: modulul și direcția ei pot varia de la un loc la altul în
interiorul conductorului. Pentru multe aplicații practice - de exemplu
citirea unui ampermetru montat într-un circuit - nu ne interesează
această hartă locală, detaliată, ci o singură mărime globală, aceeași
pentru toți observatorii: câtă sarcină traversează, în total, o secțiune
dată a conductorului, în fiecare secundă.

Trecerea de la mărimea vectorială locală \(\vec{\jmath}\) la mărimea
scalară globală, intensitatea \(I\), se face exact precum la fluxul
câmpului electric (Cursul 2): prin integrarea componentei normale a
vectorului pe o suprafață.

\textbf{Intensitatea medie} a curentului prin suprafața \(\Delta S\)
este

\[I_{\text{mediu}} = \frac{\Delta q}{\Delta t},\]

măsurată în \(\frac{\text{C}}{\text{s}} = \text{Amper}\). Este o mărime
\textbf{scalară}: nu are direcție și sens, dar poate fi negativă, atunci
când sarcina curge de fapt în sensul opus normalei \(\hat{n}\) alese
pentru a orienta suprafața. Alegerea acestei normale este pur
convențională: ea nu schimbă fenomenul fizic, ci doar semnul cu care îl
citim. Printr-un tub de curent, \(I\) este aceeași prin orice secțiune
(\(I_{S_1} = I_{S_2}\) - aceeași cantitate de sarcină într-un interval
de timp fixat); vom demonstra riguros această proprietate ceva mai jos,
cu ajutorul ecuației de continuitate în regim staționar.

Când \(\Delta t \to 0\) obținem intensitatea \textbf{instantanee}
printr-un element de suprafață:

\[dI = \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS \quad\Rightarrow\quad I = \int_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS.\]

Geometric, integrala înseamnă împărțirea suprafeței \(\Sigma\) (care
poate fi complet arbitrară, nu neapărat plană) într-o rețea de petice
infinitezimale \(dS\), calcularea contribuției \(dI\) a fiecărui petic
și însumarea tuturor acestor contribuții.

\begin{quote}
Intensitatea instantanee a curentului electric printr-o suprafață
\(\Sigma\) este egală cu \textbf{fluxul vectorului densitate de curent}
prin acea suprafață.
\end{quote}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) I ca flux al lui vecjmath prin suprafața Sigma}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c09_intensitate_flux_j.png}}
\caption{(3D) I ca flux al lui vecjmath prin suprafața Sigma}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c09_tub_curent_conservare.svg}}
\caption{Tub de curent în regim staționar: liniile densității de curent
j traversează două secțiuni S₁ și S₂ de arii diferite, însă intensitatea
I rămâne aceeași prin ambele (div j = 0).}
\end{figure}

Semnificația fizică a unităților: din
\(I\,[\text{A}] = [j]_{\text{SI}}\cdot \text{m}^2\) rezultă

\[[j]_{\text{SI}} = \frac{\text{A}}{\text{m}^2} \quad \left(\frac{\text{intensitate}}{\text{suprafață}}\right).\]

În cazul particular, foarte întâlnit în practică, în care
\(\vec{\jmath}\) este uniform și perpendicular pe o secțiune plană de
arie \(S\) (situația unui fir conductor drept), integrala de flux se
reduce la simplul produs \(I = jS\), formă pe care o vom folosi direct
în exemplele numerice de mai jos.

\subsubsection{Exemplu: tubul de curent care se
îngustează}\label{exemplu-tubul-de-curent-care-se-uxeengusteazux103}

\textbf{Date:} un tub de curent, ca cel din figura de mai sus,
transportă în regim staționar un curent de intensitate
\(I = 8\ \text{A}\). Secțiunea sa transversală are aria
\(S_1 = 4\ \text{mm}^2\) la un capăt și se îngustează până la
\(S_2 = 1\ \text{mm}^2\) la celălalt.

\textbf{Cerință:} densitatea de curent \(j_1\), \(j_2\) în cele două
secțiuni, și felul în care se schimbă viteza purtătorilor de sarcină
între cele două capete.

\textbf{Rezolvare:} Cum \(I\) este aceeași prin orice secțiune a
tubului, densitatea de curent (uniformă pe fiecare secțiune) este
\(j = I/S\):

\[j_1 = \frac{I}{S_1} = \frac{8}{4\times10^{-6}} = 2\times10^{6}\ \frac{\text{A}}{\text{m}^2}, \qquad j_2 = \frac{I}{S_2} = \frac{8}{1\times10^{-6}} = 8\times10^{6}\ \frac{\text{A}}{\text{m}^2}.\]

\[\boxed{\;j_2 = 4\,j_1\;}\]

Densitatea de curent crește de patru ori, exact cât se micșorează aria,
firesc, de vreme ce produsul lor, intensitatea \(I\), rămâne fix.

Cum \(\vec{\jmath} = nq\vec{v}\) cu aceeași concentrație \(n\) de
purtători de-a lungul întregului conductor, viteza lor de curgere
trebuie să crească în același raport: purtătorii de sarcină curg de
patru ori mai repede prin capătul îngust decât prin cel larg.

\subsection{Ecuația de continuitate}\label{ecuaux21bia-de-continuitate}

Reprezintă ilustrarea matematică a \textbf{principiului conservării
sarcinii electrice} (un electron nu poate fi distrus): sarcina electrică
nu poate dispărea brusc dintr-un loc pentru a reapărea, instantaneu, în
altul, ci poate doar să \emph{curgă}, continuu, dintr-un punct într-un
punct vecin.

\subsubsection{Forma integrală}\label{forma-integralux103}

Fie \(\Sigma\) o suprafață închisă (frontiera domeniului
\(\mathcal{D}\)) și \(Q(t)\) sarcina din interior. Domeniul
\(\mathcal{D}\) poate avea o formă complet arbitrară, nu neapărat cea a
unui tub sau a unei sfere, iar tot ceea ce urmează rămâne valabil
neschimbat, indiferent de forma aleasă. Printr-un element de suprafață
\(dS\), sarcina ieșită în intervalul \(dt\) este
\(\vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS\,dt\). Însumând pe întreaga suprafață
\(\Sigma\), sarcina totală ieșită în intervalul \(\Delta t = t - t_0\)
este
\(\left(\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS\right)\Delta t\),
deci:

\[Q(t_0) = Q(t) + \left(\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS\right)(t - t_0).\]

De aici
\(-\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = \frac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}\),
iar la limita \(t \to t_0\) (limită despre care presupunem că există și
este finită, adică sarcina \(Q(t)\) este derivabilă în raport cu
timpul):

\[-\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = \frac{dQ}{dt}.\]

Altfel spus:

\[\boxed{\;\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = -\frac{dQ}{dt}\;}\]

Aceasta este \textbf{forma integrală} a ecuației de continuitate: fluxul
total al densității de curent care iese printr-o suprafață închisă
\(\Sigma\) este egal cu viteza cu care scade sarcina cuprinsă în
interiorul ei.

Dacă iese mai multă sarcină decât intră, \(Q\) scade; dacă intră mai
multă decât iese, \(Q\) crește; iar dacă fluxul net este nul, sarcina
din interior rămâne constantă, oricâtă mișcare haotică ar exista
înăuntru.

Există o analogie structurală, dar și o diferență esențială, față de
legea lui Gauss (Cursul 3). Acolo, fluxul lui \(\vec{E}\) printr-o
suprafață închisă dădea, direct, sarcina din interior,
\(\oiint_\Sigma \vec{E}\cdot\hat{n}\,dS = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\),
o relație valabilă la orice moment dat, fără să implice timpul. Aici,
fluxul lui \(\vec{\jmath}\) nu dă sarcina însăși, ci \emph{viteza ei de
variație}: o relație esențialmente dinamică, care leagă starea
sistemului la două momente de timp vecine.

\subsubsection{Forma diferențială
(locală)}\label{forma-diferenux21bialux103-localux103}

Scriind sarcina ca integrală de volum
\(Q_{\mathcal{D}} = \int_{\mathcal{D}} \rho(\vec{r}, t)\,dV\):

\[-\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = \frac{d}{dt}\int_{\mathcal{D}} \rho(\vec{r}, t)\,dV = \int_{\mathcal{D}} \frac{\partial \rho(\vec{r}, t)}{\partial t}\,dV.\]

Aplicând teorema Gauss-Ostrogradski (Cursul 3) membrului stâng:

\[-\int_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{\jmath}\,dV = \int_{\mathcal{D}} \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV \quad\Rightarrow\quad 0 = \int_{\mathcal{D}}\left(\operatorname{div}\vec{\jmath} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right)dV.\]

Această relație este valabilă pentru \emph{orice} domeniu
\(\mathcal{D}\) am fi ales, oricât de mic sau de ciudat conturat. Un
integrand continuu a cărui integrală se anulează pe orice domeniu
trebuie să fie el însuși nul în fiecare punct: dacă ar fi, de pildă,
strict pozitiv într-un punct \(P\), atunci, prin continuitate, ar rămâne
pozitiv și pe o mică vecinătate a lui \(P\), iar integrala calculată
tocmai pe acea vecinătate ar fi strict pozitivă, nu nulă, ceea ce ar
contrazice ipoteza. Singura posibilitate rămasă este ca integrandul să
fie identic nul:

\[\boxed{\;\operatorname{div}\vec{\jmath} + \frac{\partial \rho(\vec{r}, t)}{\partial t} = 0\;}\]

Echivalent,
\(\operatorname{div}\vec{\jmath} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\):
divergența densității de curent este exact viteza, cu semn schimbat, cu
care scade densitatea de sarcină chiar în acel punct.

Merită observat că, spre deosebire de densitatea de sarcină
\(\rho(\vec{r})\) din electrostatică (Cursul 4), care era statică și nu
depindea de timp, aici \(\rho(\vec{r}, t)\) depinde explicit și de
\(t\). Ecuația de continuitate este, prin însăși natura ei, o afirmație
despre dinamică, nu despre o stare de echilibru fixată.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Ecuația de continuitate: sarcina iese to scade în interior}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c09_ecuatie_continuitate.png}}
\caption{(3D) Ecuația de continuitate: sarcina iese to scade în
interior}
\end{figure}

Aceasta fiind \textbf{ecuația de continuitate} (indestructibilitatea
sarcinii), ea leagă, în fiecare punct și în fiecare moment, două mărimi
altfel independente: divergența densității de curent (câtă sarcină ``se
scurge'' din vecinătatea infinitezimală a punctului, pe unitatea de
volum) și viteza de scădere a densității de sarcină chiar acolo.

Acolo unde liniile lui \(\vec{\jmath}\) se răresc și diverg, sarcina se
scurge afară și \(\rho\) scade; acolo unde liniile converg și se
îndesesc, sarcina se adună și \(\rho\) crește; iar acolo unde \(\rho\)
nu variază deloc, exact atâta curent intră cât iese.

\subsubsection{Exemplu: citirea locală a ecuației de
continuitate}\label{exemplu-citirea-localux103-a-ecuaux21biei-de-continuitate}

\textbf{Date:} într-o regiune a spațiului, densitatea de curent are
forma \(\vec{\jmath} = a\,x\,\hat{x}\) (orientată după axa \(Ox\), cu
modulul proporțional cu \(x\)), unde \(a>0\) este o constantă.

\textbf{Cerință:} calculați \(\operatorname{div}\vec{\jmath}\) și, cu
ajutorul ecuației de continuitate, viteza de variație a densității de
sarcină \(\partial\rho/\partial t\). Sarcina se acumulează sau se
scurge?

\textbf{Rezolvare:} Divergența în coordonate carteziene (Cursul 3) are,
în acest caz, o singură componentă nenulă:

\[\operatorname{div}\vec{\jmath} = \frac{\partial}{\partial x}(a x) = a.\]

Din ecuația de continuitate,
\(\operatorname{div}\vec{\jmath} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\),
rezultă direct:

\[\boxed{\;\frac{\partial \rho}{\partial t} = -a\;}\]

Cum \(a>0\), densitatea de sarcină scade uniform în timp, cu rata
constantă \(a\) (în \(\text{C}/\text{m}^{3}\) pe secundă), în fiecare
punct al regiunii: sarcina se scurge, nu se acumulează. Fizic, acest
lucru este de așteptat, căci \(j = ax\) crește odată cu \(x\): fiecare
element infinitezimal de volum lasă să iasă, prin fața dinspre \(x\)
mare, mai multă sarcină decât primește prin fața dinspre \(x\) mic.

\subsubsection{Cazul staționar}\label{cazul-staux21bionar}

În electrocinetica staționară (curent continuu) densitatea de sarcină nu
variază în timp, \(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\), deci:

\[\boxed{\;\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\;}\]

Această simplificare este specifică regimului staționar. Ea nu mai este
valabilă în regimuri tranzitorii, ca de exemplu în timpul încărcării sau
descărcării unui condensator (Cursul 14), atunci când sarcina de pe
armături variază în timp și, local, \(\partial\rho/\partial t \neq 0\).

Spre deosebire de câmpul electrostatic al unei sarcini
(\(\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\), cu linii
deschise), liniile câmpului \(\vec{\jmath}\) în regim staționar sunt
\textbf{curbe închise}. O linie de câmp a lui \(\vec{E}\) începe pe o
sarcină pozitivă și se termină pe una negativă, tocmai pentru că
\(\operatorname{div}\vec{E} \neq 0\) îi oferă surse și puțuri;
densitatea de curent staționară nu are asemenea surse, așa că liniile ei
nu pot începe și nu se pot termina nicăieri. Singura posibilitate
geometrică rămasă este să se închidă asupra lor înseși, în bucle:
sarcina care pleacă dintr-un capăt al unui circuit parcurge întregul
circuit și se întoarce, fără să se adune nicăieri pe drum.

Este exact imaginea intuitivă a unui circuit electric simplu: o sursă,
un fir, un bec, toate legate într-o buclă închisă. Sarcina nu se
``consumă'' în bec, așa cum s-ar putea crede la prima vedere. Ea
traversează becul, cedându-i energie prin ciocnirile despre care vom
vorbi la finalul acestui curs, apoi se întoarce la sursă pentru a
reporni ciclul.

Putem verifica acum, riguros, afirmația făcută mai devreme despre tubul
de curent: că intensitatea \(I\) este aceeași prin orice secțiune
transversală \(S_1\), \(S_2\) a unui asemenea tub. Alegem drept
suprafață închisă \(\Sigma\) chiar porțiunea din tub cuprinsă între
\(S_1\) și \(S_2\): pereții laterali, plus cele două capace. Pe pereții
laterali, prin construcția tubului de curent, \(\vec{\jmath}\) este
tangent la suprafață (liniile de curent nu ies prin ei), deci
\(\vec{\jmath}\cdot\hat{n} = 0\) acolo, iar singura contribuție la flux
vine de la cele două capace:

\[\oiint_\Sigma \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = \int_{\text{lateral}} \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS + \int_{S_1} \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS + \int_{S_2} \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,dS = 0 - I_{S_1} + I_{S_2}\]

(semnul \(-\) pe \(S_1\) apare pentru că normala exterioară a lui
\(\Sigma\) este orientată acolo împotriva curgerii, iar pe \(S_2\) în
sensul ei). Cum \(\operatorname{div}\vec{\jmath} = 0\), teorema
Gauss-Ostrogradski dă un flux total nul prin \(\Sigma\), deci:

\[-I_{S_1} + I_{S_2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;I_{S_1} = I_{S_2}\;}\]

exact proprietatea folosită, fără demonstrație, în exemplul tubului care
se îngustează, discutat mai sus.

\subsection{Curenți electrici prin medii conductoare
(metale)}\label{curenux21bi-electrici-prin-medii-conductoare-metale}

Ecuația de continuitate stabilită mai sus este valabilă pentru orice
mediu prin care curge sarcină electrică, indiferent de natura
purtătorilor de sarcină. Ne întoarcem acum la cazul ei cel mai important
din punct de vedere practic: curentul electric prin metale, materialul
din care sunt confecționate aproape toate firele conductoare ale
circuitelor uzuale.

Nu orice material conduce la fel de bine curentul electric. Ceea ce
diferențiază un conductor bun, precum un metal, de un izolator este
tocmai disponibilitatea unor purtători de sarcină liberi să se deplaseze
prin material. Înțelegerea structurii microscopice a metalului - de unde
vin acești purtători și cum se comportă ei - este primul pas către o
teorie cantitativă a conducției electrice.

În interiorul metalului, câte un electron de pe straturile marginale ale
fiecărui atom se desprinde și se mișcă practic liber, fără să poată ieși
din metal. Astfel, concentrația electronilor liberi este egală cu
concentrația atomilor:

\[n \sim 10^{28}\ \text{m}^{-3} \quad (\text{număr de atomi pe } \text{m}^{3}).\]

Este o concentrație uriașă: la această estimare, fiecare centimetru cub
de metal conține de ordinul a \(10^{22}\) electroni liberi.

Toți acești electroni formează o ``mare de electroni'' care se mișcă
haotic în toate direcțiile, precum moleculele unui gaz ideal: viteza lor
de agitație individuală este mare, dar orientată la întâmplare, foarte
diferită de mica viteză ordonată pe care o vom calcula la finalul
acestei secțiuni, atunci când prin metal circulă efectiv un curent.
Ceilalți electroni rămân legați de nuclee și nu participă la conducție;
nici nucleele, mult mai grele și legate rigid în rețeaua cristalină, nu
participă.

Datorită mișcării complet haotice, suma vitezelor este nulă:

\[\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N = 0,\]

deci densitatea globală de curent este \(0\). Deși există densități
microscopice de curent nenule, caracterul haotic face ca
\textbf{densitatea totală de curent prin metal să fie \(0\)}.

Asta nu înseamnă că electronii stau pe loc: dimpotrivă, fiecare se
deplasează individual cu o viteză considerabilă, schimbată mereu prin
ciocniri cu ionii rețelei metalice. Ceea ce se anulează este doar
\emph{suma} acestor viteze, tocmai pentru că mișcarea este complet
dezordonată: pentru fiecare electron care se îndreaptă, la un moment
dat, într-o direcție, există, statistic, un altul care se îndreaptă
exact în direcția opusă. Este aceeași situație ca la un gaz aflat în
repaus macroscopic: moleculele lui se ciocnesc și se mișcă permanent, cu
viteze mari, dar gazul, ca întreg, nu curge nicăieri.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Marea de electroni: mișcare haotică, sumvec v\_i = 0}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c09_electroni_haotici.png}}
\caption{(3D) Marea de electroni: mișcare haotică, sumvec v\_i = 0}
\end{figure}

\subsubsection{Cum obținem totuși
curent}\label{cum-obux21binem-totuux219i-curent}

Un conductor în câmp exterior \(\vec{E}_{\text{ext}}\) își redistribuie
sarcinile până când, la echilibru electrostatic (Cursul 4):

\[\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_{\text{ext}} + \vec{E}_{\text{distrib}} = 0.\]

În aceste condiții curentul net prin metal are densitatea \(0\).

Fără o sursă care să întrețină neîncetat acest dezechilibru, orice
curent este strict tranzitoriu: la conectarea unui conductor la un câmp
exterior, electronii se redistribuie rapid, practic instantaneu la scara
timpului uman, până la anularea câmpului interior, iar curentul, care a
existat doar pe durata acestei redistribuiri, încetează.

Pentru a avea curent electric \emph{permanent} trebuie deci să
\textbf{stricăm echilibrul electrostatic}, adică să menținem câmpul
electric din metal nenul. Mijloacele obișnuite sunt \textbf{sursele de
tensiune electromotoare}: plasate în circuit, ele redistribuie permanent
electronii liberi astfel încât în interiorul metalului să existe mereu
câmp electric.

Mecanismul concret diferă de la o sursă la alta: o baterie folosește o
reacție chimică pentru a menține separarea de sarcină între cei doi
poli, iar un generator electric folosește lucrul mecanic al unei
mișcări, de exemplu cea a unei turbine. Rolul este însă mereu același -
să reînnoiască permanent dezechilibrul pe care conducția electrică
tinde, natural, să îl anuleze.

\[\text{pentru ca să existe curent electric} \;\Rightarrow\; \vec{E}_{\text{intern}} \neq 0.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Stricăm echilibrul - apare vec E în metal}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c09_echilibru_stricat.png}}
\caption{Stricăm echilibrul - apare vec E în metal}
\end{figure}

Câmpul pune sarcinile în mișcare; legea exactă care leagă densitatea de
curent de câmp, \(\vec{\jmath} = \sigma\vec{E}\), o stabilim abia în
Cursul 10.

\subsubsection{Viteza de drift a
electronilor}\label{viteza-de-drift-a-electronilor}

Cât de repede se deplasează, în realitate, ``norul'' de electroni atunci
când prin metal trece curent electric? Suprapusă peste agitația haotică
descrisă mai sus (care, în medie, nu contribuie cu niciun curent net)
apare acum o mișcare ordonată suplimentară, indusă de forța
\(\vec{F} = q\vec{E}_{\text{intern}} = -e\vec{E}_{\text{intern}}\) pe
care câmpul intern o exercită asupra fiecărui electron: o \textbf{viteză
de drift} \(\vec{v}_d\), mică dar nenulă, orientată de-a lungul câmpului
și responsabilă exact pentru densitatea de curent
\(\vec{\jmath} = nq\vec{v}_d\) stabilită în Cursul 8.

Din \(j = n e\,v_d\) (modulul relației \(\vec{\jmath} = nq\vec{v}\), cu
\(|q| = e\) pentru electron) am putea, în principiu, extrage direct
\(v_d = j/(ne)\) pentru orice fir metalic parcurs de un curent cunoscut.
Rezultatul, așa cum vom vedea cu cifre concrete în Cursul 10 (modelul
Drude), este surprinzător de mic, cu mult sub viteza de agitație haotică
a electronilor discutată mai sus.

Energia disipată prin ciocnirile permanente ale electronilor aflați în
drift cu rețeaua de ioni ai metalului poartă numele de \textbf{efectul
Joule} și încălzește conductorul. Acesta este subiectul căruia i se
dedică o parte a cursului următor, unde vom vedea exact cum afectează
trecerea curentului metalul prin care el circulă.

Efectul este uneori dorit, ca în firul incandescent al unui radiator
electric sau al unui bec cu incandescență, și alteori un cost
inevitabil, ca încălzirea firelor unei linii electrice, prin care se
pierde o parte din energia transportată. În ambele cazuri, originea
fizică este aceeași: micile ciocniri, repetate de un număr enorm de ori
pe secundă, ale electronilor aflați în drift cu rețeaua de ioni a
metalului.

\end{document}
