% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 8: Electrocinetică. Curentul electric și densitatea de curent},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 8: Electrocinetică. Curentul electric și densitatea de
curent}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Recapitulare: de la sarcini în repaus la sarcini în
mișcare}\label{recapitulare-de-la-sarcini-uxeen-repaus-la-sarcini-uxeen-miux219care}

Cursurile 1-7 au studiat electrostatica: sarcini electrice imobile,
aflate în repaus sau, pentru conductori, la echilibru electrostatic.
Reținem, întâi, cele patru relații fundamentale ale câmpului
electrostatic în vid, valabile pentru orice distribuție statică de
sarcină:

\[
\begin{aligned}
  \vec{F} &= Q\,\vec{E} \\
  \oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} &= 0 \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{rot}\vec{E} = 0 \\
  \vec{E} &= -\operatorname{grad} V \\
  \oiint_\Sigma \vec{E}\cdot\hat{n}\,dS &= \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
\]

adică, în ordine: forța Coulomb exercitată asupra unei sarcini \(Q\);
caracterul conservativ și irotațional al câmpului electrostatic;
legătura dintre câmp și potențial; și legea lui Gauss, în formă
integrală și în formă locală. Din a treia relație rezultă și diferența
de potențial ca circulație a câmpului,
\(V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}\), linia de câmp fiind
orientată mereu dinspre potențialul mai mare spre cel mai mic.

Pentru un conductor la echilibru electrostatic, aceste relații impun un
tablou complet, stabilit în Cursurile 4-5: sarcina electrică se așază
exclusiv pe suprafață, câmpul este nul în interior (\(\vec{E} = 0\)),
potențialul este constant pe tot conductorul, în interior și la
suprafață (\(V = \text{const}\)), iar imediat lângă suprafață câmpul
este perpendicular pe ea, cu modulul
\(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\), proporțional cu densitatea
superficială de sarcină \(\sigma\).

Cursurile 6 și 7 au extins acest tablou la sistemul format din doi
conductori cu sarcini egale și de semn opus - \textbf{condensatorul} -,
caracterizat prin capacitatea \(C = \frac{Q}{V_A - V_B}\) (Cursul 6), și
au calculat energia înmagazinată la încărcarea lui, sub cele trei forme
echivalente stabilite în Cursul 7:

\[W_{\text{el}} = \frac{Q\,U_{AB}}{2} = \frac{C\,U_{AB}^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}.\]

Toate aceste rezultate - ale electrostaticii sarcinilor libere și ale
condensatorului deopotrivă - au un lucru esențial în comun: descriu
sarcini aflate în \textbf{repaus}. Cursul de față rupe tocmai această
ipoteză: ce se întâmplă atunci când sarcinile electrice părăsesc
repausul și încep să curgă?

\subsection{Electrocinetica. Curentul
electric}\label{electrocinetica.-curentul-electric}

Fie un domeniu \(\mathcal{D}\) din spațiu în care, la momentul \(t\), se
află sarcina totală \(Q(t)\), distribuită continuu. Pe un element de
volum \(dV\) din jurul unui punct \(\vec{r} \in \mathcal{D}\), sarcina
elementară este:

\[dQ = \rho(\vec{r}, t)\, dV,\]

unde \(\rho\) este \textbf{densitatea volumică de sarcină} (Cursul 4),
măsurată în \(\mathrm{C/m^3}\) - de data aceasta, însă, o funcție care
depinde explicit și de timp, pentru că sarcina din \(\mathcal{D}\) se
poate redistribui de la un moment la altul.

\begin{quote}
Orice mișcare a unui corp încărcat electric este un fenomen care se
numește \textbf{curent electric}.
\end{quote}

Definiția este deliberat de largă: nu contează \emph{cine} se mișcă - un
electron, un ion, o bară electrizată întreagă - și nici \emph{ce anume}
îl pune în mișcare; orice deplasare de sarcină electrică, prin orice
mecanism, este curent electric. Tocmai pentru că mecanismele care pun
sarcina în mișcare diferă atât de mult de la un caz la altul, este utilă
o clasificare a curenților după natura lor fizică.

Această definiție marchează și o ruptură reală față de tot ce am studiat
până acum. Un conductor parcurs de curent electric nu se mai află la
echilibru electrostatic, în sensul strict al Cursurilor 4-5: câmpul din
interiorul lui nu mai este nul, ci este chiar câmpul care pune
purtătorii de sarcină în mișcare ordonată și le întreține curgerea.
Studiul acestei mișcări organizate de sarcină stă la baza întregii
electrotehnici - circuite, motoare, instalații electrice -, iar
cursurile următoare vor arăta exact ce relație leagă acest câmp de
curentul pe care îl produce (legea lui Ohm).

\subsubsection{Tipuri de curenți}\label{tipuri-de-curenux21bi}

În funcție de natura corpurilor încărcate electric implicate, curenții
se clasifică în mai multe feluri:

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \textbf{Curenți de convecție} - curentul asociat mișcării corpurilor
  macroscopice electrizate ca întreg: o bară, un pieptăn, un disc, o
  bucată de sticlă, electrizate în prealabil și puse apoi în mișcare.
  Sarcina electrică este ``lipită'' de corp și se deplasează exact cu
  viteza lui mecanică; nu există nicio mișcare a sarcinii \emph{față de}
  corpul care o poartă - curentul de convecție seamănă, de aceea, mai
  degrabă cu transportul unei mărfi decât cu o curgere propriu-zisă.
\item
  \textbf{Curenți de drift / conducție} - produși de deplasarea unor
  particule încărcate electric sub acțiunea \emph{exclusivă} a câmpului
  electric, de exemplu particulele accelerate într-un accelerator de
  particule. Curenții prin sârmele metalice sunt curenți de drift:
  câmpul electric aplicat la capetele firului este cel care pune
  electronii de conducție într-o mișcare ordonată, suprapusă peste
  agitația lor termică haotică. Aceeași denumire se folosește și pentru
  mișcarea ionilor dintr-o plasmă sau a purtătorilor de sarcină dintr-un
  semiconductor, atunci când sunt puși în mișcare de un câmp electric
  exterior.
\item
  \textbf{Curenți de difuzie} - cauzați exclusiv de diferența de
  concentrație dintre particule, fără intervenția vreunui câmp electric:
  purtătorii se deplasează, în medie, dinspre regiunea mai concentrată
  spre cea mai puțin concentrată, exact cum difuzează orice specie de
  particule aflată într-un gradient de concentrație. Mecanismul este
  important, de exemplu, în semiconductori, unde o concentrație
  neuniformă de electroni sau goluri produce un curent chiar și în
  absența oricărui câmp electric aplicat.
\end{enumerate}

Cele trei mecanisme pot coexista în același sistem fizic: un
semiconductor cu dopaj neuniform, parcurs și de un curent aplicat din
exterior, are simultan un curent de drift (dat de câmpul aplicat) și un
curent de difuzie (dat de gradientul de concentrație al purtătorilor
liberi) - suma lor este curentul total măsurat la bornele
dispozitivului.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c08_clasificare_curenti.svg}}
\caption{Cele trei tipuri de curent electric: convecție (corp
macroscopic încărcat în mișcare), drift (purtători deplasați de câmpul
E) și difuzie (gradient de concentrație, fără câmp electric).}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Tipuri de curent: convecție, drift, difuzie}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c08_tipuri_curent.png}}
\caption{(3D) Tipuri de curent: convecție, drift, difuzie}
\end{figure}

O primă aplicație numerică arată cum se calculează, concret, un curent
de convecție. Banda transportoare a unui generator electrostatic (de tip
Van de Graaff) este o curea izolatoare de lățime \(w\), încărcată
uniform cu densitatea superficială de sarcină \(\sigma\), care se
deplasează cu viteza \(u\). În intervalul \(dt\), banda înaintează cu
\(u\,dt\), transportând o fâșie de arie \(w\,(u\,dt)\) și, odată cu ea,
sarcina \(dQ = \sigma\,w\,u\,dt\); curentul purtat de bandă este, deci,
\(I = dQ/dt = \sigma\,w\,u\).

\textbf{Date:} bandă de lățime \(w = 0{,}4\ \mathrm{m}\), cu densitatea
superficială de sarcină \(\sigma = 3\times 10^{-5}\ \mathrm{C/m^2}\),
deplasându-se cu viteza \(u = 15\ \mathrm{m/s}\).

\textbf{Cerință:} intensitatea curentului de convecție transportat de
bandă.

\textbf{Rezolvare:}

\[I = \sigma\,w\,u = (3\times 10^{-5})(0{,}4)(15) = 1{,}8\times 10^{-4}\ \mathrm{A} = 0{,}18\ \mathrm{mA}.\]

Este exact ordinul de mărime al curentului de încărcare al unui
generator Van de Graaff de laborator: mic în amperi, dar suficient ca,
acumulat minute în șir pe cupola generatorului, să ridice potențialul
acesteia la sute de mii de volți. Spre deosebire de curenții de
conducție, calculați mai jos pornind de la concentrația și viteza
purtătorilor individuali, curentul de convecție se calculează direct din
mișcarea \emph{macroscopică} a corpului încărcat - nu este nevoie să
cunoaștem nimic despre structura microscopică a sarcinii de pe bandă.

\subsection{Densitatea de curent}\label{densitatea-de-curent}

O sarcină aflată în mișcare traversează, în timp, diverse suprafețe din
spațiu, iar tăria acestei curgeri depinde atât de câți purtători trec,
cât și de cât de repede se mișcă și în ce direcție. Caracterizăm
curgerea printr-un vector numit \textbf{densitate de curent}, notat
\(\vec{\jmath}\), al cărui modul este egal cu sarcina \(\Delta q\) ce
străbate, în intervalul \(\Delta t\), o suprafață de arie \(\Delta S_m\)
\textbf{perpendiculară} pe direcția curgerii, raportată la această arie
și la timp:

\[|\vec{\jmath}| = j = \frac{\Delta q}{\Delta S_m \cdot \Delta t} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta q}{\Delta t} = j\,\Delta S_m.\]

Cerința ca suprafața să fie perpendiculară pe curgere nu este
întâmplătoare: o suprafață înclinată ``prinde'' mai puțină sarcină pe
unitatea ei de arie, exact ca o pânză ținută oblic în calea unei ploi
care cade vertical - aceeași idee geometrică de arie proiectată, deja
folosită la construcția fluxului oricărui câmp vectorial (Cursurile
2-3). Pentru o secțiune \textbf{oblică} \(\Delta S\), cu unghiul
\(\alpha\) între normala ei \(\hat{n}\) și direcția curgerii, aria ei
utilă (proiecția perpendiculară pe curgere) este
\(\Delta S_m = \Delta S\cos\alpha\) (vezi clasa a VIII-a):

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c08_paralelepiped_oblic.svg}}
\caption{Paralelipipedul oblic străbătut de purtătorii de sarcină:
secțiunea normală ΔS\_m perpendiculară pe densitatea de curent j,
secțiunea oblică ΔS și relația ΔS\_m = ΔS cos α.}
\end{figure}

\[\frac{\Delta q}{\Delta t} = j\,\Delta S\cos\alpha = \vec{\jmath}\cdot\hat{n}\,\Delta S. \qquad (1)\]

Definim \textbf{intensitatea curentului electric}:

\[I = \frac{\Delta q}{\Delta t},\]

raportul dintre cantitatea de sarcină ce străbate o secțiune
\textbf{arbitrară} (nu neapărat perpendiculară pe curgere) și intervalul
de timp \(\Delta t\) în care se face traversarea, măsurată în amperi
(\(\mathrm{A} = \mathrm{C/s}\)). Spre deosebire de \(\vec{\jmath}\),
intensitatea \(I\) este o mărime \textbf{scalară}: nu depinde de forma
sau de orientarea secțiunii alese, ci doar de sarcina totală
transportată prin ea. Relația \((1)\) este, de fapt, o primă formă a
ideii de \textbf{flux al lui \(\vec{\jmath}\)} printr-o suprafață mică
și plată; forma ei generală, valabilă pentru o suprafață oarecare, va fi
construită riguros în cursul următor.

Definiția lui \(I\) este aceeași indiferent de scara fenomenului, iar
scara variază enorm: de la ordinul picoamperilor
(\(\sim 10^{-12}\ \mathrm{A}\)), cât este curentul printr-un singur
canal ionic al unei membrane celulare, până la zeci de mii de amperi
într-un fulger. Ceea ce diferă de la un caz la altul este doar câți
purtători de sarcină traversează secțiunea aleasă și cât de repede o fac
- nu și formula care leagă \(I\) de \(\vec{\jmath}\).

Merită subliniată diferența dintre cele două mărimi tocmai introduse.
Densitatea de curent \(\vec{\jmath}\) este, în multe privințe, mărimea
mai fundamentală: descrie curgerea sarcinii punct cu punct, cu direcție
și sens proprii în fiecare loc din spațiu - la fel cum, în mecanica
fluidelor, câmpul vitezelor \(\vec{v}(\vec{r})\) descrie curgerea unui
fluid în fiecare punct al lui. Intensitatea \(I\), în schimb, este doar
suma (fluxul) acestei curgeri prin secțiunea aleasă, exact cum debitul
unei conducte este o singură cifră, obținută prin însumarea câmpului de
viteze pe toată secțiunea ei: utilă practic, dar mult mai săracă în
informație decât \(\vec{\jmath}\) însuși, care rămâne definit în fiecare
punct al conductorului, indiferent ce secțiune alegem să ``citim''.

\subsubsection{Legătura cu viteza
purtătorilor}\label{legux103tura-cu-viteza-purtux103torilor}

Pentru a lega \(\vec{\jmath}\) de mișcarea reală a purtătorilor de
sarcină, urmărim un fascicul de particule identice, fiecare cu sarcina
\(q\), deplasându-se toate cu aceeași viteză \(\vec{v}\). Particulele
care vor traversa suprafața oblică \(\Delta S\) în următorul interval
\(\Delta t\) sunt exact cele conținute, chiar acum, într-o ``cușcă''
imaginară în formă de paralelipiped oblic, cu baza \(\Delta S\) și
muchia laterală \(\vec{v}\,\Delta t\) - la fel cum, pentru a afla câtă
ploaie va intra printr-o fereastră înclinată în secunda următoare, ne
imaginăm coloana oblică de picături aflate, chiar acum, la cel mult
\(v\,\Delta t\) de fereastră. Sarcina conținută în această cușcă este:

\[\Delta q = \rho\,\Delta V = \rho\,\Delta S_m\,\Delta X = \rho\,\Delta S\cos\alpha\,\Delta X,\]

unde \(\Delta X = v\,\Delta t\) este lungimea parcursă de particule în
intervalul \(\Delta t\). Împărțind la \(\Delta t\):

\[\frac{\Delta q}{\Delta t} = \rho\,\Delta S\cos\alpha\,\frac{\Delta X}{\Delta t} = \rho\,\Delta S\,\vec{v}\cdot\hat{n}. \qquad (2)\]

Cele două expresii ale lui \(\Delta q/\Delta t\), \((1)\) și \((2)\),
trebuie să coincidă pentru orice orientare \(\hat{n}\) a suprafeței
alese, deci \(\vec{\jmath}\cdot\hat{n} = \rho\,\vec{v}\cdot\hat{n}\)
pentru orice \(\hat{n}\), de unde:

\[\boxed{\;\vec{\jmath} = \rho\,\vec{v}\;}\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Densitatea de curent vecjmath = rhovec v: secțiune oblică}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c08_densitate_curent_j.png}}
\caption{(3D) Densitatea de curent vecjmath = rhovec v: secțiune oblică}
\end{figure}

Modulul densității de curent se măsoară în \(\mathrm{A/m^2}\), deoarece
\(j = \frac{\Delta q}{\Delta S_m\,\Delta t} = \frac{I}{\Delta S_m}\):
densitatea de curent este, cum îi spune și numele, curent pe unitatea de
arie.

\subsubsection{Particularizare pentru curenții de
conducție}\label{particularizare-pentru-curenux21bii-de-conducux21bie}

Rezultatul \(\vec{\jmath} = \rho\vec{v}\) este general - valabil pentru
orice distribuție continuă de sarcină aflată în mișcare -, dar, în cazul
curenților de conducție, purtătorii sunt particule discrete (electroni,
ioni), toate cu aceeași sarcină \(q\). Pentru un asemenea fascicul, cu
concentrația \(n = \frac{N}{V}\) (numărul de particule pe unitatea de
volum, măsurată în \(\mathrm{m^{-3}}\)), densitatea volumică de sarcină
este \(\rho = \frac{Nq}{V} = nq\), deci:

\[\boxed{\;\vec{\jmath} = q\,n\,\vec{v}\;}\]

Această formă particularizată va sta la baza legii lui Ohm, mai târziu,
atunci când vom exprima viteza \(\vec{v}\) a purtătorilor în funcție de
câmpul electric care îi pune în mișcare. Ordinul de mărime al lui \(n\)
variază enorm de la un material la altul: într-un metal precum cuprul,
\(n\) este de ordinul \(10^{28}\)-\(10^{29}\ \mathrm{m^{-3}}\), pentru
că aproape fiecare atom contribuie cu câte un electron liber; într-un
semiconductor, \(n\) poate fi de mii sau milioane de ori mai mic, și,
mai important, poate fi controlat prin dopaj - una dintre proprietățile
care fac semiconductorii atât de utili în electronică.

\subsubsection{\texorpdfstring{Sensul vectorului
\(\vec{\jmath}\)}{Sensul vectorului \textbackslash vec\{\textbackslash jmath\}}}\label{sensul-vectorului-vecjmath}

Formula \(\vec{\jmath} = qn\vec{v}\) ascunde o subtilitate care merită
toată atenția: sensul lui \(\vec{\jmath}\) este fixat de \emph{produsul}
dintre semnul sarcinii și sensul vitezei, nu de viteză singură.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Dacă particula este \textbf{pozitivă} (\(q > 0\)), \(\vec{\jmath}\)
  are aceeași direcție și sens cu viteza \(\vec{v}\): purtătorul și
  vectorul densitate de curent ``merg'' în aceeași direcție.
\item
  Dacă particula este \textbf{negativă} (\(q < 0\), de exemplu un
  electron), \(\vec{\jmath}\) are sens \textbf{opus} vitezei: purtătorul
  se deplasează într-un sens, dar vectorul densitate de curent arată în
  sensul celălalt.
\end{itemize}

Aceasta este exact situația dintr-un fir metalic obișnuit: electronii de
conducție se deplasează dinspre borna negativă spre cea pozitivă a
sursei, dar vectorul \(\vec{\jmath}\) - și, odată cu el, sensul
convențional al curentului \(I\), moștenit istoric din vremea când se
credea că purtătorii de sarcină din metale sunt pozitivi - este orientat
exact invers, dinspre borna pozitivă spre cea negativă, prin circuitul
exterior. Fizica nu depinde de această convenție de semn - este doar o
contabilitate pe care toată lumea o folosește la fel -, dar trebuie
aplicată consecvent, purtător cu purtător.

Vectorul densitate de curent se calculează, deci, ținând cont
\emph{simultan} de sensul vitezei \emph{și} de semnul sarcinii
purtătorului: săgeata din desen reprezintă vectorul \(\vec{\jmath}\), în
timp ce intensitatea \(I\), fiind o mărime scalară, nu are nicio săgeată
asociată - ea capătă doar un semn algebric, o dată ce alegem arbitrar un
sens de referință pentru secțiunea prin care o calculăm.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Sensul lui vecjmath față de viteza purtătorilor}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c08_semn_j.png}}
\caption{Sensul lui vecjmath față de viteza purtătorilor}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu numeric: densitatea de curent într-un fir de
cupru}\label{exemplu-numeric-densitatea-de-curent-uxeentr-un-fir-de-cupru}

\textbf{Date:} un fir de cupru cu secțiunea
\(S = 2\ \mathrm{mm^2} = 2\times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\), parcurs de un
curent \(I = 10\ \mathrm{A}\), uniform distribuit pe secțiune.
Concentrația electronilor de conducție în cupru este
\(n \approx 8{,}5\times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}\) (aproximativ un
electron liber per atom), iar sarcina elementară este
\(e \approx 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}\).

\textbf{Cerință:} densitatea de curent \(j\) și viteza de drift \(v\) a
electronilor de conducție.

\textbf{Rezolvare:} secțiunea fiind perpendiculară pe curgere
(\(\Delta S_m = S\)), densitatea de curent rezultă direct din
\(I = jS\):

\[j = \frac{I}{S} = \frac{10}{2\times 10^{-6}} = 5\times 10^{6}\ \mathrm{A/m^2}.\]

Din particularizarea \(j = qnv\) (în modul, cu \(q = e\)), viteza
purtătorilor este:

\[v = \frac{j}{ne} = \frac{5\times 10^{6}}{(8{,}5\times 10^{28})(1{,}6\times 10^{-19})} \approx 3{,}7\times 10^{-4}\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}37\ \mathrm{mm/s}.\]

Rezultatul este surprinzător: purtătorii unui curent de
\(10\ \mathrm{A}\) - un curent obișnuit, de ordinul celui folosit de un
aparat electrocasnic mic - se deplasează, în medie, cu doar câteva
zecimi de milimetru pe secundă. (Vectorul \(\vec{\jmath}\), purtătorii
fiind electroni, este orientat opus vitezei lor reale de drift, conform
secțiunii anterioare - dar modulul calculat mai sus rămâne cel corect.)
Contrastul dintre această viteză derizorie și viteza aproape instantanee
cu care se aprinde un bec, la acționarea întrerupătorului, se explică
astfel: nu electronii ``aleargă'' de la întrerupător până la bec, ci
\emph{câmpul electric} care îi pune în mișcare se instalează de-a lungul
întregului fir aproape cu viteza luminii, iar toți electronii firului -
de la un capăt la altul - încep să se deplaseze, cu această viteză mică,
practic simultan. Un curent electric mare nu înseamnă purtători rapizi,
ci un număr enorm de purtători, fiecare mișcându-se foarte încet.

\end{document}
