% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 7: Energia unui sistem de sarcini. Energia și gruparea condensatoarelor},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 7: Energia unui sistem de sarcini. Energia și gruparea
condensatoarelor}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Recapitulare: condensatorul și capacitatea
electrică}\label{recapitulare-condensatorul-ux219i-capacitatea-electricux103}

Din Cursul 6 reținem noțiunea de \textbf{condensator}: un sistem format
din doi conductori cu sarcini egale în modul și de semn opus, \(+Q\) și
\(-Q\), aflați la potențialele \(V_A\) și \(V_B\). Raportul
\(C = \frac{Q}{V_A - V_B}\) este constant pentru un condensator dat și
se numește \textbf{capacitatea electrică} a acestuia, măsurată în farazi
(\(\mathrm{F} = \mathrm{C/V}\)). Pentru condensatorul plan (plăci
plan-paralele, cu distanța dintre plăci mult mai mică decât dimensiunea
lor), am dedus formula:

\[C_{\text{plan}} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.\]

Cursul de față răspunde la două întrebări care decurg firesc din
acestea. Întâi: ce \textbf{energie} este înmagazinată atunci când
construim, piesă cu piesă, un sistem de sarcini electrice - fie el un
nor de sarcini punctiforme, fie un condensator încărcat? Apoi: cum se
comportă mai multe condensatoare atunci când sunt asamblate împreună,
\textbf{în serie} sau \textbf{în paralel}, și ce capacitate echivalentă
rezultă?

\subsection{Energia unui sistem de
sarcini}\label{energia-unui-sistem-de-sarcini}

\begin{quote}
Energia unui sistem de sarcini este definită ca lucrul mecanic total
efectuat de o forță externă pentru a construi, piesă cu piesă, acel
sistem (aducând sarcinile de la infinit).
\end{quote}

De ce tocmai de la infinit? Pentru că la distanță infinită sarcinile nu
interacționează deloc - potențialul produs de o sarcină punctiformă,
\(V = kq/r\), tinde la \(0\) când \(r \to \infty\) -, așa că infinitul
oferă un punct de referință natural, cu energie de interacțiune nulă,
exact convenția \(V(\infty) = 0\) folosită deja pentru potențialul
electric.

\subsubsection{Deducere pas cu pas}\label{deducere-pas-cu-pas}

Presupunem că forța externă acționează \emph{cvasistatic}: în fiecare
moment sarcina adusă este practic în echilibru, iar energia ei cinetică
rămâne neglijabilă pe tot parcursul. Conform relației fundamentale
stabilite în Cursul 1, \(V_1 - V_2 = \int_1^2 \vec{E}\cdot d\vec{r}\),
lucrul mecanic efectuat de câmpul electric asupra unei sarcini \(q\)
deplasate din infinit (unde \(V=0\)) până într-un punct \(P\) cu
potențialul \(V(P)\) este \(q\bigl[V(\infty) - V(P)\bigr] = -q\,V(P)\).
Forța externă, egală și opusă forței electrice în orice moment,
efectuează exact lucrul contrar:

\[L_{\infty \to P} = q\,V(P).\]

Aducem acum sarcinile una câte una, aplicând această regulă la fiecare
pas.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{Pasul I.} Aducem prima sarcină \(q_1\) în spațiul gol. Nu
  există încă nicio altă sarcină, deci potențialul din locul ei de
  sosire este \(V=0\), iar \(L_1 = q_1 \cdot 0 = 0\).
\item
  \textbf{Pasul II.} Aducem \(q_2\) la distanța \(r_{12}\) de \(q_1\);
  acolo, potențialul produs de \(q_1\) este \(kq_1/r_{12}\), deci:
\end{itemize}

\[L_2 = q_2 \frac{k q_1}{r_{12}}.\]

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{Pasul III.} Aducem \(q_3\), aflată la distanțele \(r_{13}\) și
  \(r_{23}\) de primele două sarcini; potențialul din locul ei de sosire
  este suma potențialelor produse de \(q_1\) și \(q_2\):
\end{itemize}

\[L_3 = q_3\left(\frac{k q_1}{r_{13}} + \frac{k q_2}{r_{23}}\right) = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c07_sarcina_q1_vine.svg}}
\caption{Energia unui sistem de trei sarcini punctiforme: q₁ este adusă
de la infinit la vârful triunghiului format cu q₂ și q₃; fiecare latură
poartă distanța dintre sarcini, iar energia totală este suma celor trei
termeni de pereche, W = kq₁q₂/r₁₂ + kq₁q₃/r₁₃ + kq₂q₃/r₂₃.}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Construcția energiei: aducerea sarcinilor pas cu pas}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c07_energie_constructie.png}}
\caption{(3D) Construcția energiei: aducerea sarcinilor pas cu pas}
\end{figure}

\subsubsection{\texorpdfstring{Formula de inducție pentru pasul
\(N\)}{Formula de inducție pentru pasul N}}\label{formula-de-inducux21bie-pentru-pasul-n}

Pentru trei sarcini, lucrul total este suma celor trei pași:

\[L_{\text{total},3} = L_1 + L_2 + L_3 = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{k q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}}.\]

Fiecare pereche de sarcini apare \emph{o singură dată} în această sumă -
perechea \((1,2)\), perechea \((1,3)\), perechea \((2,3)\) -, pentru că
la pasul \(j\) intervine numai potențialul sarcinilor deja aduse,
niciodată al celor care vor veni după. Pentru a scrie acest fapt într-o
formulă valabilă pentru orice \(N\), este mai comod să însumăm peste
\emph{toate} perechile ordonate \(i \neq j\) (fiecare pereche neordonată
fiind numărată astfel de două ori) și să împărțim rezultatul la \(2\):

\[\boxed{\;L_{\text{total}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{\substack{i=1\\ i\neq j}}^{N} \frac{k\,q_i q_j}{r_{ij}}\;}\]

\paragraph{\texorpdfstring{Verificare pentru
\(N=3\)}{Verificare pentru N=3}}\label{verificare-pentru-n3}

Formula de mai sus trebuie să reproducă exact rezultatul
\(L_{\text{total},3}\) obținut direct, prin adunarea pașilor I-III.
Pentru \(N=3\), suma dublă are \(3\times 2 = 6\) termeni (\(i\neq j\),
ambii între \(1\) și \(3\)); termenii se grupează apoi în perechi egale
(\(q_2q_1 = q_1q_2\), aceeași distanță \(r_{12}\), și analog pentru
celelalte două laturi), fiecare pereche numărată de două ori:

\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{3}\sum_{\substack{i=1\\ i\neq j}}^{3} \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}
&= \frac{k}{2}\left(\frac{q_2 q_1}{r_{12}} + \frac{q_3 q_1}{r_{13}} + \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_3 q_2}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right) \\
&= \frac{k}{2}\left(\frac{2q_1q_2}{r_{12}} + \frac{2q_1q_3}{r_{13}} + \frac{2q_2q_3}{r_{23}}\right) \\
&= \frac{k q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{k q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{k q_2 q_3}{r_{23}} = L_{\text{total},3},
\end{aligned}
\]

exact rezultatul obținut mai sus prin adunare directă. Factorul
\(\frac{1}{2}\) din formula generală nu este, deci, un artificiu: el
corectează faptul că suma dublă numără fiecare interacțiune de două ori,
o dată ca \((i,j)\) și o dată ca \((j,i)\).

Grupând acum suma generală după indicele \(j\):

\[L_{\text{total}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N} q_j \left(\sum_{\substack{i=1\\ i\neq j}}^{N} \frac{k\,q_i}{r_{ij}}\right).\]

Suma din paranteză este chiar \textbf{potențialul produs de toate
celelalte sarcini în punctul lui \(q_j\)}, adică \(V_j\). Rezultă
formula de calcul rapid a energiei electrostatice a unui sistem de
sarcini punctiforme:

\[\boxed{\;W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{N} q_j V_j\;}\]

Pentru o distribuție continuă de sarcină, cu densitate volumică \(\rho\)
(Cursul 4), suma discretă devine o integrală de volum,

\[W = \frac{1}{2}\int \rho\,V\,dV,\]

unde \(V\) este potențialul total din acel punct; nu mai apare nicio
problemă de ``autointeracțiune'', pentru că fiecare element
infinitezimal de sarcină \(dq = \rho\,dV\) este, la rândul lui,
infinitezimal.

\subsubsection{Exemplu: patru sarcini în vârfurile unui
pătrat}\label{exemplu-patru-sarcini-uxeen-vuxe2rfurile-unui-pux103trat}

\textbf{Date:} patru sarcini punctiforme, toate egale cu \(q\), așezate
în cele patru vârfuri ale unui pătrat de latură \(l\).

\textbf{Cerință:} energia electrostatică \(W_{\text{electric}}\) a
sistemului.

\textbf{Rezolvare:}

\[W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{4} q_j V_j = \frac{1}{2}\,q\,(V_1 + V_2 + V_3 + V_4).\]

Prin simetria pătratului, toate cele patru potențiale trebuie să fie
egale, \(V_1 = V_2 = V_3 = V_4\): o rotație de \(90°\) în jurul
centrului pătratului duce fiecare vârf exact în locul vecinului său,
lăsând configurația de sarcini neschimbată (toate egale cu \(q\)), iar
repetând-o, orice vârf ajunge, pe rând, în locul oricărui altul. Este
suficient, deci, să calculăm potențialul într-un singur vârf, produs de
celelalte trei sarcini: două sarcini vecine, la distanța \(l\) (laturile
pătratului), și una opusă, pe diagonală, la distanța \(l\sqrt{2}\):

\[V_1 = \frac{kq}{l} + \frac{kq}{l\sqrt{2}} + \frac{kq}{l} = \frac{kq}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

Deci:

\[W_{\text{electric}} = \frac{1}{2}\,q\cdot 4 V_1 = 2q\cdot\frac{kq}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2kq^2}{l}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

Simplificând coeficientul numeric,
\(2\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4 + \sqrt{2}\), obținem forma cea
mai compactă:

\[\boxed{\;W_{\text{electric}} = \frac{kq^2}{l}\left(4+\sqrt{2}\right) \approx 5{,}41\,\frac{kq^2}{l}\;}\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Exemplu: 4 sarcini în vârfurile unui pătrat}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c07_patrat_4_sarcini.png}}
\caption{(3D) Exemplu: 4 sarcini în vârfurile unui pătrat}
\end{figure}

\textbf{Aplicație numerică.} Pentru \(q = 1\ \mu\mathrm{C}\) și
\(l = 20\ \mathrm{cm} = 0{,}2\ \mathrm{m}\), cu
\(k \approx 9\times10^{9}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{C}^2\)
(valoarea rotunjită, uzuală, a constantei lui Coulomb):

\[W_{\text{electric}} \approx 5{,}41\times\frac{kq^2}{l} = 5{,}41\times\frac{9\times10^{9}\times(10^{-6})^2}{0{,}2} \approx 5{,}41\times 4{,}5\times10^{-2}\ \mathrm{J} \approx 0{,}24\ \mathrm{J}.\]

Este o cantitate de energie modestă - suficientă, de exemplu, pentru a
ridica un ou de găină (\(50\ \mathrm{g}\)) la aproape jumătate de metru
înălțime -, dar arată că interacțiunile electrostatice, chiar la sarcini
de ordinul microcoulombului, înmagazinează energii ușor de comparat cu
experiența cotidiană.

\subsection{Energia unui condensator}\label{energia-unui-condensator}

Trecem acum de la un nor oarecare de sarcini punctiforme la cazul cel
mai simplu și mai important din punct de vedere practic:
\textbf{condensatorul}, sistemul de doi conductori cu sarcini \(+Q\) și
\(-Q\) studiat în Cursul 6. Formula generală
\(W = \frac{1}{2}\sum_j q_jV_j\) dedusă mai sus se aplică neschimbată,
dar structura specială a condensatorului - toată sarcina pozitivă la un
singur potențial, toată sarcina negativă la altul - o simplifică
drastic.

Presupunem un condensator cu plăci plan-paralele la echilibru
electrostatic: \(+Q\) la potențial \(V_A\), \(-Q\) la potențial \(V_B\).
Plecând de la formula energiei, separăm suma pe cele două armături,
pentru că armătura \(A\), fiind un conductor la echilibru electrostatic,
se află întreagă la același potențial \(V_A\) (și, analog, armătura
\(B\) la \(V_B\)):

\[W_{\text{el}} = \frac{1}{2}\sum_i q_i V_i = \frac{1}{2}\left[\sum q_{Ai}\,V_A + \sum q_{Bi}\,V_B\right] = \frac{1}{2}\left[V_A \sum q_{Ai} + V_B \sum q_{Bi}\right].\]

Cum \(\sum q_{Ai} = Q\) și \(\sum q_{Bi} = -Q\):

\[W_{\text{el}} = \frac{1}{2}\left[Q V_A - Q V_B\right] = \frac{Q}{2}\,(V_A - V_B) = \frac{Q}{2}\,U_{AB}.\]

\[\boxed{\;W_{\text{el}} = \frac{Q\,U_{AB}}{2}\;}\]

Folosind \(C = \frac{Q}{V_A - V_B} \Rightarrow Q = C\,U_{AB}\) și
\(U_{AB} = \frac{Q}{C}\), obținem \textbf{trei variante} echivalente:

\[\boxed{\;W_{\text{el}} = \frac{Q\,U_{AB}}{2} = \frac{C\,U_{AB}^2}{2} = \frac{Q^2}{2C}\;}\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Energia condensatorului: 3 forme echivalente}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c07_energie_condensator_3_forme.png}}
\caption{(3D) Energia condensatorului: 3 forme echivalente}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu numeric}\label{exemplu-numeric}

\textbf{Date:} condensator cu capacitatea
\(C_0 = 10\ \mathrm{nF} = 10^{-8}\ \mathrm{F}\), încărcat la tensiunea
\(U = 10\ \mathrm{V}\).

\textbf{Cerință:} energia înmagazinată \(W = ?\)

\textbf{Rezolvare:}

\[W = \frac{C_0 U^2}{2} = \frac{10^{-8}\times 10^2}{2} = 0{,}5\times10^{-6}\ \mathrm{J} = 0{,}5\ \mu\mathrm{J}.\]

\subsubsection{A doua cale: încărcarea
treptată}\label{a-doua-cale-uxeencux103rcarea-treptatux103}

Există și o a doua deducere a acestei energii, la fel de instructivă,
care urmărește condensatorul chiar în timpul procesului de încărcare, nu
doar starea lui finală. La un moment intermediar, condensatorul poartă
deja sarcina \(q\) (cu \(0 \le q \le Q\)) și, prin definiția
capacității, tensiunea la bornele lui este \(V = q/C\). Pentru a aduce
încă o sarcină infinitezimală \(dq\) pe armătura pozitivă, forța externă
trebuie să învingă exact această tensiune, cheltuind lucrul mecanic:

\[dW = V\,dq = \frac{q}{C}\,dq.\]

Însumând (integrând) de la starea descărcată (\(q=0\)) până la sarcina
finală \(Q\):

\[W = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{1}{C}\left[\frac{q^2}{2}\right]_0^Q = \frac{Q^2}{2C},\]

exact a treia variantă a formulei de mai sus. Acest drum de deducere
explică \emph{de ce} apare factorul \(\frac{1}{2}\): pe măsură ce
sarcina se acumulează, tensiunea \(V=q/C\) crește liniar, de la \(0\)
până la \(U\); ``prețul'' fiecărei sarcini suplimentare crește pe
parcurs, iar tensiunea medie plătită de-a lungul întregului proces este
exact \(U/2\) (media dintre \(0\) și \(U\)). Lucrul mecanic total este,
așadar, sarcina finală înmulțită cu tensiunea \emph{medie},
\(W = Q\cdot(U/2) = QU/2\), nu cu tensiunea finală \(U\) - de unde
factorul \(\frac{1}{2}\), care nu este un artificiu matematic, ci
reflectă direct felul în care s-a făcut încărcarea.

\subsubsection{Densitatea de energie a câmpului
electric}\label{densitatea-de-energie-a-cuxe2mpului-electric}

Formulele de mai sus spun \emph{cât} lucru mecanic costă un condensator
încărcat, dar nu spun \emph{unde} se află, fizic, acea energie.
Răspunsul este că energia nu stă ``pe sarcini'', ci este distribuită
prin tot spațiul ocupat de câmpul electric, cu o densitate volumică pe
care o putem calcula exact pentru condensatorul plan.

Pornim de la forma \(W = \frac{1}{2} C U^2\) și înlocuim capacitatea
condensatorului plan și tensiunea sa în funcție de câmpul uniform dintre
plăci, ambele stabilite în Cursul 6:
\(C_{\text{plan}} = \varepsilon_0 S/d\) și \(U = Ed\):

\[W = \frac{1}{2}\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}\cdot (Ed)^2 = \frac{1}{2}\,\varepsilon_0 E^2 \,(S d).\]

Produsul \(Sd\) este chiar \textbf{volumul spațiului dintre plăci},
singura regiune unde există câmp electric (\(\vec E = 0\) atât în
conductori, cât și, pentru condensatorul plan ideal, în exteriorul lui).
Împărțind energia la acest volum obținem energia pe unitatea de volum,
adică \textbf{densitatea de energie a câmpului electric}:

\[\boxed{\;u = \frac{W}{Sd} = \frac{1}{2}\,\varepsilon_0 E^2\;}\]

Deși am obținut-o pentru cazul particular, uniform, al condensatorului
plan, acest rezultat este general: în orice regiune a spațiului în care
există câmp electrostatic \(\vec E\), indiferent de sarcinile care îl
produc, energia este distribuită cu aceeași densitate
\(u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). (Demonstrația generală combină
formula de asamblare \(W=\frac{1}{2}\int\rho V\,dV\) de mai sus cu forma
diferențială a legii lui Gauss,
\(\operatorname{div}\vec E = \rho/\varepsilon_0\), stabilită în Cursul
4, și depășește cadrul acestui curs.)

Interpretarea fizică schimbă felul în care gândim câmpul electric: nu
mai este doar un instrument de calcul pentru forțe, ci un obiect fizic
real, care poartă el însuși energie, întinsă prin spațiu, mai densă
acolo unde câmpul e mai intens. Numeric, un câmp electric de
\(E = 10^{6}\ \mathrm{V/m}\) înmagazinează:

\[u = \frac{1}{2}\,\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\times 8{,}85\times10^{-12}\times(10^{6})^2 \approx 4{,}4\ \mathrm{J/m^3},\]

câțiva jouli pe metru cub. Este o densitate modestă, iar câmpul nu poate
crește oricât: aerul începe să se străpungă electric (apar scântei) la
circa \(3\times10^6\ \mathrm{V/m}\), iar cele mai bune materiale
izolante solide ajung cel mult la ordinul a \(10^8\ \mathrm{V/m}\) - o
limită fizică ce plafonează, în cele din urmă, cât de multă energie
poate înmagazina orice condensator într-un volum dat. Ceea ce oferă
totuși un condensator, spre deosebire de o baterie chimică (care
înmagazinează mult mai multă energie, dar o eliberează lent), este
\emph{viteza}: energia lui, oricât de modestă, poate fi eliberată
aproape instantaneu - de aceea condensatoarele, nu bateriile,
alimentează blițul unui aparat foto sau defibrilatorul unui spital,
acolo unde este nevoie de puteri mari pe intervale de timp foarte
scurte.

\subsection{Gruparea condensatoarelor}\label{gruparea-condensatoarelor}

În practică, valorile de capacitate disponibile ``pe raft'' sunt
limitate; pentru a obține o capacitate anume, se combină mai multe
condensatoare standard. Există exact două moduri de bază de a le lega -
\textbf{în serie} și \textbf{în paralel} -, deosebite prin ceea ce
rămâne constant de-a lungul grupării: sarcina \(Q\), respectiv tensiunea
\(U_{AB}\).

\subsubsection{A) Gruparea în serie}\label{a-gruparea-uxeen-serie}

Condensatoarele \(C_1, C_2, C_3\) sunt legate în serie între bornele
\(A\) și \(B\), menținute la \(V_A - V_B = U_{AB} = \text{const}\).
Oricâte condensatoare am avea și indiferent de capacități, fiecare
armătură se încarcă alternant cu \(+Q\) și \(-Q\) (aceeași sarcină \(Q\)
pe tot lanțul).

De ce trebuie ca sarcina să fie aceeași pe fiecare condensator din lanț?
Fiecare ``nod'' intermediar - de exemplu, armătura din dreapta a lui
\(C_1\) împreună cu firul care o leagă de armătura din stânga a lui
\(C_2\) - formează un \textbf{conductor izolat}: nu este legat direct de
bornele \(A\) sau \(B\), iar sarcina nu poate trece prin dielectricul
dintre plăci. Acest conductor pornește neutru, deci sarcina lui totală
rămâne mereu \(0\). Dacă armătura dinspre \(C_1\) se încarcă, prin
inducție, cu \(-Q\), atunci armătura dinspre \(C_2\) trebuie să se
încarce cu exact \(+Q\), ca suma să rămână nulă - iar același
raționament se repetă, identic, la fiecare nod intermediar de-a lungul
lanțului, forțând aceeași sarcină \(Q\), în modul, pe toate
condensatoarele.

Introducând nodurile intermediare \(M\) și \(N\)
(\(A - C_1 - M - C_2 - N - C_3 - B\)):

\[V_A - V_M = \frac{Q}{C_1}, \qquad V_M - V_N = \frac{Q}{C_2}, \qquad V_N - V_B = \frac{Q}{C_3}.\]

Adunând:

\[V_A - V_B = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} + \frac{Q}{C_3}.\]

Pentru condensatorul echivalent serie \(C_{es} = \frac{Q}{V_A - V_B}\),
deci \(V_A - V_B = \frac{Q}{C_{es}}\), de unde:

\[\frac{1}{C_{es}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}.\]

\[\boxed{\;C_{es} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3}}\;}\]

Deoarece fiecare termen \(1/C_i\) este pozitiv, suma lor depășește
oricare termen luat separat, adică \(1/C_{es} \ge 1/C_i\) pentru fiecare
\(i\), sau echivalent \(C_{es} \le C_i\) pentru toate \(i\).
\textbf{Capacitatea echivalentă serie este întotdeauna mai mică decât
cea mai mică dintre capacitățile individuale} - gruparea în serie
``sărăcește'' mereu capacitatea, niciodată n-o mărește.

Pentru două condensatoare: \(C_{es} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\). De
exemplu, \(C_1 = C_2 = 10\ \mathrm{mF}\) dau:

\[C_{es} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{10\times10}{10 + 10}\ \mathrm{mF} = \frac{100}{20}\ \mathrm{mF} = 5\ \mathrm{mF}.\]

\subsubsection{B) Gruparea în paralel}\label{b-gruparea-uxeen-paralel}

Condensatoarele \(C_1, C_2, C_3\) sunt legate în paralel între \(A\) și
\(B\), la \(U_{AB}\) fixat. Diferența de potențial (circulația lui
\(\vec E\)) este aceeași pe fiecare ramură, fiind independentă de drum
(Cursul 1):

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}.\]

Fizic, fiecare armătură legată la borna \(A\) face parte dintr-un
\textbf{conductor}, deci, la echilibru electrostatic, este parte a unui
sistem echipotențial (proprietatea stabilită în Cursul 4): toate
armăturile legate la \(A\) se află la același potențial \(V_A\), oricât
de departe ar fi una de alta, și la fel pentru cele legate la \(B\).
Fiecare condensator din grupare ``vede'', deci, exact aceeași tensiune
\(U_{AB}\).

Sarcina totală se distribuie: \(Q = Q_1 + Q_2 + Q_3\), cu

\[Q_1 = C_1(V_A - V_B), \quad Q_2 = C_2(V_A - V_B), \quad Q_3 = C_3(V_A - V_B), \quad Q = C_{ep}(V_A - V_B).\]

Rezultă capacitatea echivalentă paralel:

\[\boxed{\;C_{ep} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots + C_N\;}\]

Fiind o sumă de termeni pozitivi, \(C_{ep}\) depășește oricare dintre
capacitățile individuale: \textbf{capacitatea echivalentă paralel este
întotdeauna mai mare decât cea mai mare dintre capacitățile
individuale}. Explicația fizică este directă: legând condensatoarele în
paralel, practic le alăturăm armăturile, mărind aria efectivă expusă
câmpului - exact factorul \(S\) din formula condensatorului plan,
\(C_{\text{plan}} = \varepsilon_0 S/d\), care intră direct proporțional
în capacitate.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Gruparea serie / paralel - colapsul la echivalent}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c07_grupare_condensatoare.png}}
\caption{Gruparea serie / paralel - colapsul la echivalent}
\end{figure}

Contrastul este izbitor pentru aceleași componente: cele două
condensatoare de \(10\ \mathrm{mF}\) folosite mai sus dau
\(5\ \mathrm{mF}\) legate în serie, dar

\[C_{ep} = C_1 + C_2 = 10 + 10 = 20\ \mathrm{mF}\]

legate în paralel - de patru ori mai mult decât în serie, deși
condensatoarele sunt identice. Alegerea dintre cele două grupări este,
așadar, o unealtă practică directă: serie pentru a împărți tensiunea
totală și a \emph{micșora} capacitatea echivalentă, paralel pentru a
\emph{aduna} capacitățile și a păstra aceeași tensiune pe fiecare
ramură.

\end{document}
