% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 6: Teorema reciprocității (Green). Capacitatea. Condensatorul},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 6: Teorema reciprocității (Green). Capacitatea.
Condensatorul}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Recapitulare: conductorul la echilibru
electrostatic}\label{recapitulare-conductorul-la-echilibru-electrostatic}

Un conductor aflat la echilibru electrostatic are:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  potențialul constant în interior și pe suprafață:
  \(V = \text{const}\);
\item
  câmpul electric nul în interior: \(\vec{E} = 0\);
\item
  câmpul în vecinătatea suprafeței perpendicular pe suprafață, de modul
  \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\).
\end{itemize}

Un conductor gol \textbf{ecranează de la exterior spre interior}: am
arătat în Cursul 5 (cușca Faraday) că orice cavitate dintr-un conductor
la echilibru electrostatic rămâne cu \(\vec{E} = 0\) în interior,
indiferent de sursa exterioară a câmpului. Dacă metalul este conectat la
pământ, sarcina indusă pe fața exterioară se scurge (dispare) în
rezervorul de sarcină al pământului, iar conductorul devine
\textbf{ecran bilateral}.

Am văzut, deci, cum se comportă \emph{un singur} conductor izolat, la
echilibru electrostatic. Întrebarea acestui curs este mai generală:
\emph{ce se întâmplă cu un sistem de mai mulți conductori, aflați
simultan la echilibru electrostatic?}

\subsection{Teorema reciprocității
(Green)}\label{teorema-reciprocitux103ux21bii-green}

Fie un sistem fizic fix de \(N\) conductori metalici - aceleași forme,
aceleași poziții relative, izolați unii de alții -, pe care îl putem
încărca în moduri diferite, lăsându-l de fiecare dată să ajungă la un
nou echilibru electrostatic. Teorema reciprocității leagă între ele
oricare \emph{două} asemenea stări de echilibru ale aceluiași sistem:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  starea \textbf{I}: conductorii au sarcinile \(Q_i\) și potențialele
  \(V_i\);
\item
  starea \textbf{II}: aceiași conductori au sarcinile \(Q_i'\) și
  potențialele \(V_i'\).
\end{itemize}

În aceste condiții, teorema reciprocității afirmă că:

\[Q_1 V_1' + Q_2 V_2' + \dots + Q_N V_N' = Q_1' V_1 + Q_2' V_2 + \dots + Q_N' V_N,\]

adică, pe scurt (relația de reciprocitate):

\[\sum_{i=1}^{N} Q_i V_i' = \sum_{i=1}^{N} Q_i' V_i.\]

Numele de \emph{reciprocitate} vine tocmai din această simetrie:
rolurile stărilor I și II se pot inversa oricând în enunț, fără să
schimbe relația.

Rezultatul este surprinzător de puternic tocmai pentru că cele două
stări pot fi complet diferite - sarcini diferite, obținute prin
proceduri de încărcare complet diferite -, atâta timp cât conductorii
înșiși (forma, mărimea, poziția lor relativă) rămân neschimbați. De
reținut: teorema \emph{nu} afirmă simpla identitate
\(Q_iV_i = Q_i'V_i'\) (asta ar fi banal), ci leagă \emph{încrucișat}
mărimile din cele două stări - sarcinile din I cu potențialele din II,
și invers.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Teorema reciprocității: două stări de echilibru}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c06_reciprocitate_doua_stari.png}}
\caption{Teorema reciprocității: două stări de echilibru}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c06_green_simetrie.svg}}
\caption{Teorema reciprocității (Green): aceiași doi conductori în
starea (1) cu sarcinile Q₁, Q₂ și potențialele V₁, V₂, respectiv în
starea (2) cu mărimile primate; relația de reciprocitate Q₁V₁' + Q₂V₂' =
Q₁'V₁ + Q₂'V₂.}
\end{figure}

\subsubsection{O consecință a teoremei: simetria potențialelor
induse}\label{o-consecinux21bux103-a-teoremei-simetria-potenux21bialelor-induse}

O primă aplicație, care arată forța teoremei, se obține pentru \(N=2\)
conductori \(A\) și \(B\), comparând două stări în care încărcăm pe rând
câte unul singur:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  starea \textbf{I}: încărcăm \(A\) cu sarcina \(Q\) și lăsăm \(B\)
  neutru (izolat, cu sarcină netă zero); se instalează potențialele
  \(V_A^{(\mathrm{I})}\) pe \(A\) și \(V_B^{(\mathrm{I})}\) pe \(B\) -
  nenul, deși \(B\) e neutru, tocmai pentru că \(B\) resimte prezența
  lui \(A\) din apropiere;
\item
  starea \textbf{II}: încărcăm \(B\) cu aceeași sarcină \(Q\) și lăsăm
  \(A\) neutru; se instalează \(V_A^{(\mathrm{II})}\) pe \(A\) și
  \(V_B^{(\mathrm{II})}\) pe \(B\).
\end{itemize}

Aplicăm teorema reciprocității între cele două stări, cu \(Q_A = Q\),
\(Q_B = 0\) în starea I și \(Q_A' = 0\), \(Q_B' = Q\) în starea II:

\[
\begin{aligned}
Q_A V_A' + Q_B V_B' &= Q_A' V_A + Q_B' V_B \\
Q\cdot V_A^{(\mathrm{II})} + 0\cdot V_B^{(\mathrm{II})} &= 0\cdot V_A^{(\mathrm{I})} + Q\cdot V_B^{(\mathrm{I})} \\
Q\,V_A^{(\mathrm{II})} &= Q\,V_B^{(\mathrm{I})}
\end{aligned}
\]

\[\boxed{\;V_A^{(\mathrm{II})} = V_B^{(\mathrm{I})}\;}\]

Cu alte cuvinte: potențialul indus pe conductorul neutru \(A\), atunci
când punem sarcina \(Q\) pe \(B\), este \emph{exact} egal cu potențialul
indus pe conductorul neutru \(B\), atunci când am fi pus aceeași sarcină
\(Q\) pe \(A\) - chiar dacă \(A\) și \(B\) au forme complet diferite.
Geometria singură nu anticipează un asemenea rezultat; teorema îl
garantează.

\textbf{Date:} doi conductori izolați \(A\) și \(B\), de forme diferite;
sarcina \(Q = 5\ \mathrm{nC}\) pusă pe \(A\) (cu \(B\) neutru) induce pe
\(B\) potențialul \(V_B^{(\mathrm{I})} = 12\ \mathrm{V}\).

\textbf{Cerință:} ce potențial se instalează pe \(A\) dacă, în schimb,
punem aceeași sarcină \(Q = 5\ \mathrm{nC}\) pe \(B\), lăsând \(A\)
neutru?

\textbf{Rezolvare:} din relația dedusă mai sus,
\(V_A^{(\mathrm{II})} = V_B^{(\mathrm{I})} = 12\ \mathrm{V}\), fără
niciun calcul geometric nou - teorema înlocuiește o problemă grea
(recalcularea distribuției de sarcină pentru o geometrie nouă) cu o
simetrie.

\subsection{Capacitatea electrică a unui conductor
izolat}\label{capacitatea-electricux103-a-unui-conductor-izolat}

Ne întoarcem acum la cazul cel mai simplu al teoremei, \(N=1\): un
singur conductor izolat, comparat cu el însuși în două stări diferite de
încărcare. Pentru un singur conductor izolat (\(Q\) - sarcina, \(V\) -
potențialul), teorema lui Green aplicată între stările I \((Q, V)\) și
II \((Q', V')\) dă:

\[Q \cdot V' = Q' \cdot V \quad\Rightarrow\quad \frac{Q}{V} = \frac{Q'}{V'} = \text{const}.\]

Acest raport constant se numește \textbf{capacitatea electrică a
conductorului izolat}: oricât am schimba sarcina de pe conductor (și,
odată cu ea, potențialul), raportul \(Q/V\) rămâne același - o constantă
care depinde exclusiv de forma și mărimea conductorului, nu de cât de
încărcat este el la un moment dat.

\textbf{Observație:} \(C = Q/V\) este întotdeauna o mărime pozitivă. Un
conductor încărcat pozitiv are potențial pozitiv față de infinit, iar
unul încărcat negativ, potențial negativ - sarcina \(Q\) și potențialul
\(V\) au mereu același semn, deci raportul lor e pozitiv.

Aceeași concluzie rezultă și pe o cale diferită, direct din liniaritatea
ecuației lui Laplace stabilite în Cursul 4. Dacă dublăm sarcina \(Q\) a
conductorului, potențialul pe care ea îl produce în orice punct al
spațiului se dublează și el, pentru că atât ecuația \(\Delta V = 0\) din
exteriorul conductorului, cât și condiția de conductor echipotențial pe
frontieră sunt liniare în sarcină. În particular, potențialul se
dublează și pe suprafața conductorului însuși, deci raportul \(Q/V\)
rămâne neschimbat oricât am scala sarcina - reciprocitatea și
liniaritatea sunt, de fapt, aceeași proprietate privită din două
unghiuri diferite.

\subsubsection{Cazul sferei}\label{cazul-sferei}

Pentru o sferă conductoare încărcată uniform, am stabilit deja (Cursul
5) că, din exterior, distribuția de sarcină se comportă exact ca o
sarcină punctiformă egală așezată în centru - simetrie radială, liniile
de câmp egal distanțate pe orice sferă concentrică -, deci potențialul
sferei este \(V = \frac{kQ}{R}\). Rezultă:

\[C_{\text{sf}} = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\dfrac{kQ}{R}} = \frac{R}{k} = \frac{R}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}} = 4\pi\varepsilon_0 R.\]

Capacitatea electrică a sferei este \textbf{direct proporțională cu
raza} ei: o sferă de rază dublă adună, la același potențial, o sarcină
dublă.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Capacitatea sferei izolate C = 4pivarepsilon\_0 R}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c06_capacitate_sfera.png}}
\caption{Capacitatea sferei izolate C = 4pivarepsilon\_0 R}
\end{figure}

\textbf{Date:} sferă conductoare izolată, de rază
\(R = 10\ \mathrm{cm} = 0{,}10\ \mathrm{m}\) (cam cât un grepfrut),
aflată în vid (\(\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)).

\textbf{Cerință:} \(C_{\text{sf}} = ?\)

\textbf{Rezolvare:}

\[C_{\text{sf}} = 4\pi\varepsilon_0 R = 4\pi\times(8{,}85\times 10^{-12})\times 0{,}10 \approx 1{,}11\times 10^{-11}\ \mathrm{F} = 11{,}1\ \mathrm{pF}.\]

Numărul acesta este surprinzător de mic. Chiar și pentru întregul
Pământ, cu raza \(R = 6{,}37\times 10^{6}\ \mathrm{m}\), aceeași formulă
dă o capacitate de numai
\(C \approx 7\times 10^{-4}\ \mathrm{F} \approx 700\ \mathrm{\mu F}\).
Faradul este, așadar, o unitate enormă pentru un conductor izolat;
condensatoarele întâlnite în practică se măsoară în picofarazi
(\(10^{-12}\ \mathrm{F}\)) sau microfarazi (\(10^{-6}\ \mathrm{F}\)),
iar un conductor izolat de \(1\ \mathrm{F}\) ar fi un obiect fantastic
de mare. Acesta este un prim indiciu că, pentru a înmagazina o sarcină
utilă la o tensiune rezonabilă, avem nevoie de o idee mai bună decât o
sferă izolată - și tocmai aici intervine condensatorul.

\subsection{Condensatorul}\label{condensatorul}

\begin{quote}
Un sistem format din doi conductori cu sarcini \textbf{egale în modul și
opuse ca semn} se numește \textbf{condensator}; capacitatea sa este
raportul \(C = Q/(V_1 - V_2)\).
\end{quote}

De ce ajută al doilea conductor? Un conductor singur, izolat, este un
loc prost pentru a păstra sarcină electrică, tocmai pentru că, așa cum
am văzut mai sus, potențialul lui crește repede pe măsură ce adăugăm
sarcină. Trucul este să aducem în apropiere un al doilea conductor,
încărcat cu sarcina opusă \(-Q\): acesta ``trage în jos'' potențialul
primului, astfel încât aceeași sarcină \(Q\) ajunge acum la o tensiune
mult mai mică decât ar fi ajuns conductorul singur - iar o tensiune mai
mică pentru aceeași sarcină înseamnă o capacitate mai mare. Doi
conductori așezați special ca să păstreze sarcini egale și opuse
formează un \textbf{condensator}, iar aproape orice condensator întâlnit
în practică este construit după acest principiu.

Cele două armături au sarcinile \(+Q\) la potențial \(V_1\) și \(-Q\) la
potențial \(V_2\) (cu \(V_1 > V_2\), armătura pozitivă fiind cea de
potențial mai ridicat). Aplicând teorema lui Green între stările I și
II:

\[Q V_1' - Q V_2' = Q' V_1 - Q' V_2 \quad\Rightarrow\quad Q\,(V_1' - V_2') = Q'\,(V_1 - V_2),\]

de unde:

\[\frac{Q}{V_1 - V_2} = \frac{Q'}{V_1' - V_2'} = \text{const} = \text{capacitatea condensatorului}.\]

Unitatea de măsură în SI:

\[[C]_{\mathrm{SI}} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}} = \mathrm{F}\ \text{(Farad)}.\]

Deoarece \(-Q\) corespunde lui \(V_2\), iar \(+Q\) corespunde lui
\(V_1\), capacitatea se scrie ca o mărime \textbf{pozitivă}:

\[C = \frac{Q}{V_A - V_B} = \frac{-Q}{V_B - V_A}.\]

\textbf{Date:} condensator cu capacitatea \(C = 100\ \mathrm{pF}\),
încărcat la tensiunea \(U = V_A - V_B = 12\ \mathrm{V}\).

\textbf{Cerință:} sarcina \(Q\) de pe fiecare armătură?

\textbf{Rezolvare:} direct din definiția capacității,
\(Q = C\,U = (100\times 10^{-12})(12) \approx 1{,}2\times 10^{-9}\ \mathrm{C} = 1{,}2\ \mathrm{nC}\)
pe armătura de la potențialul mai ridicat, \(A\), și
\(-1{,}2\ \mathrm{nC}\) pe cea de la \(B\).

\subsection{Capacitatea condensatorului plan (plăci
plan-paralele)}\label{capacitatea-condensatorului-plan-plux103ci-plan-paralele}

\subsubsection{De ce sarcina se concentrează pe fețele
interioare}\label{de-ce-sarcina-se-concentreazux103-pe-feux21bele-interioare}

Ne întrebăm mai întâi, calitativ, cum arată câmpul unui condensator
format din două plăci cu \(+Q\) și \(-Q\), în funcție de distanța dintre
ele. La distanță mare, fiecare placă ``nu resimte'' prea mult prezența
celeilalte: liniile de câmp pleacă de pe placa pozitivă aproape simetric
în toate direcțiile și se închid pe placa negativă parcurgând tot
spațiul din jur, ca și cum fiecare placă ar fi, aproximativ, un
conductor izolat propriu; sarcina fiecărei plăci se împarte, în această
situație, aproape egal între cele două fețe ale ei.

Pe măsură ce apropiem plăcile, sarcina se rearanjează: tot mai multe
linii de câmp ale unei plăci se închid \emph{direct} pe cealaltă placă,
fără să mai ocolească prin exterior, iar sarcina migrează preponderent
pe fața interioară (cea dinspre cealaltă armătură). Cu un total fix de
\(18\) unități de sarcină pe fiecare placă, desenul calitativ al
cursului ilustrează exact această tendință: la distanță mare, sarcina se
împarte \(9\) pe fața exterioară și \(9\) pe cea interioară; apropiind
plăcile, împărțirea devine \(5\) pe fața exterioară și \(13\) pe cea
interioară; iar la distanță foarte mică, aproape toată sarcina - \(15\)
din cele \(18\) unități - s-a strâns pe fața interioară, cu doar \(3\)
rămase pe fața exterioară.

În limita în care distanța \(d\) dintre plăci este mult mai mică decât
raza (dimensiunea) plăcilor, această tendință devine o aproximare
excelentă: practic \emph{toată} sarcina se așază pe fețele interioare,
câmpul dintre plăci devine aproape uniform, iar câmpul din exterior
tinde la zero. Această observație calitativă justifică ipoteza de lucru
a calculului care urmează.

\subsubsection{Derivarea
capacității}\label{derivarea-capacitux103ux21bii}

Deoarece distanța dintre plăci este mult mai mică decât dimensiunea lor,
aproape toată sarcina s-a strâns pe cele două fețe interioare, conform
discuției de mai sus, iar câmpul dintre ele este cel stabilit deja în
Cursul 5 pentru suprafața oricărui conductor electrizat (derivat acolo
cu o cutie gaussiană, tip ``pillbox''):

\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \qquad \sigma = \frac{Q}{S},\]

câmp concentrat și aproape uniform între plăci, nul în exterior -
calculăm astfel capacitatea cu eroare foarte mică (aproximația devine
exactă în limita \(d \to 0\), la \(S\) fixat). Tensiunea dintre plăci se
obține integrând câmpul pe un drum de la \(A\) la \(B\) - integrală
independentă de drum (Cursul 1):

\[V_A - V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r}.\]

Alegem drumul \(\Gamma\) cel mai convenabil: pornim din \(A\) pe sârma
din stânga, trecem prin placa din stânga, traversăm interstițiul dintre
plăci, trecem prin placa din dreapta și ajungem în \(B\) pe sârma din
dreapta - cinci segmente consecutive, notate (I)-(V):

\[
V_A - V_B = \underbrace{\int_{\text{(I)}} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{sârma stângă}} + \underbrace{\int_{\text{(II)}} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{placa stângă}} + \underbrace{\int_{\text{(III)}} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{printre plăci}} + \underbrace{\int_{\text{(IV)}} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{placa dreaptă}} + \underbrace{\int_{\text{(V)}} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{sârma dreaptă}}.
\]

Segmentele (I), (II), (IV) și (V) trec toate prin conductori (sârme sau
plăci metalice), unde \(\vec{E} = 0\) la echilibru electrostatic, deci
contribuția fiecăruia este nulă. Rămâne doar segmentul (III), cel dintre
plăci, unde câmpul este uniform și paralel cu drumul (\(\cos 0 = 1\)):

\[V_A - V_B = \int_{\text{(III)}} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \int |\vec{E}|\,|d\vec{r}|\cos 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\int_{\text{(III)}} |d\vec{r}| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d,\]

unde \(d\) este chiar lungimea segmentului (III), distanța dintre plăci.
Așadar:

\[V_A - V_B = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d, \qquad \text{sau} \qquad U = E \cdot d.\]

Capacitatea condensatorului plan devine:

\[C_{\text{plan}} = \frac{Q}{\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\, d} = \frac{Q\,\varepsilon_0}{\dfrac{Q}{S}\, d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.\]

\[\boxed{\;C_{\text{plan}} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\;}\]

Verificare dimensională: \([\varepsilon_0] = \mathrm{F/m}\), deci

\[[C_{\text{plan}}] = \frac{\mathrm{F/m}\cdot \mathrm{m^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{F},\]

exact unitatea capacității.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={(3D) Condensatorul plan: câmpul concentrat între plăci}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c06_condensator_camp_uniform.png}}
\caption{(3D) Condensatorul plan: câmpul concentrat între plăci}
\end{figure}

Capacitatea condensatorului plan este:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{invers proporțională cu distanța dintre plăci}: apropiind
  armăturile, aceeași pereche de sarcini \(\pm Q\) ajunge la o tensiune
  tot mai mică (\(U=Ed\), cu \(d\) mic), deci \(C = Q/U\) crește;
\item
  \textbf{direct proporțională cu suprafața plăcii}: o placă mai mare
  găzduiește mai multă sarcină la aceeași densitate \(\sigma\) (același
  câmp \(E = \sigma/\varepsilon_0\), aceeași tensiune \(U = Ed\)), deci
  \(C\) crește.
\end{itemize}

Cele două legi rezumă, de fapt, întreaga strategie de proiectare a unui
condensator real: pentru o capacitate mare într-un volum rezonabil, avem
nevoie de plăci cât mai largi și de un interstițiu cât mai îngust.
Profesorul notează că această dependență a fost confirmată experimental
la seminar.

\subsubsection{Exemplu numeric}\label{exemplu-numeric}

\textbf{Date:} condensator plan cu plăci circulare de rază
\(R = 10\ \mathrm{cm} = 0{,}1\ \mathrm{m}\), aflate la distanța
\(d = 1\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\ \mathrm{m}\) una de alta, cu vid între
ele (\(\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)).

\textbf{Cerință:} \(C_{\text{plan}} = ?\)

\textbf{Rezolvare:} aria unei plăci este
\(S = \pi R^2 = \pi\,(0{,}1)^2 \approx 3{,}14\times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}\),
deci:

\[C_{\text{plan}} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{(8{,}85\times 10^{-12})(3{,}14\times 10^{-2})}{10^{-2}} \approx 27{,}8\times 10^{-12}\ \mathrm{F} = 27{,}8\ \mathrm{pF}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c06_formula_C_plan.svg}}
\caption{Geometria condensatorului plan: două plăci paralele de arie S
separate de distanța d, cu câmp electric uniform E între ele și
densități de sarcină +σ și -σ pe fețele interioare; capacitatea rezultă
C = ε₀S/d.}
\end{figure}

Comparăm cu sfera izolată de mai devreme, de aceeași rază
\(R = 10\ \mathrm{cm}\): acolo obținusem
\(C_{\text{sf}} \approx 11{,}1\ \mathrm{pF}\). Chiar la un interstițiu
încă generos, de o zecime din rază (\(d = 1\ \mathrm{cm}\)), perechea de
plăci stochează deja de aproximativ \(2{,}5\) ori mai multă sarcină pe
volt decât sfera singură - iar raportul crește fără limită pe măsură ce
micșorăm \(d\), pentru că \(C_{\text{plan}} \propto 1/d\), în timp ce
capacitatea sferei izolate rămâne fixată o dată pentru totdeauna de
propria ei rază.

Un \(1\ \mathrm{F}\) rămâne, totuși, un obiect exotic: la același
interstițiu \(d=1\ \mathrm{cm}\), ar trebui o placă de arie

\[S = \frac{C\,d}{\varepsilon_0} \approx \frac{(1)(10^{-2})}{8{,}85\times 10^{-12}} \approx 1{,}1\times 10^{9}\ \mathrm{m^2},\]

adică vreo mie de kilometri pătrați. De aceea condensatoarele reale nu
măresc pur și simplu placa, ci strâng interstițiul la câțiva microni.

\subsection{Condensatorul - concentrator de
câmp}\label{condensatorul---concentrator-de-cuxe2mp}

Sarcinile \((+)\) și \((-)\) se așază numai pe \textbf{fețele interne}
ale condensatorului - exact fețele pe care, în discuția calitativă de
mai sus, am văzut că se concentrează sarcina atunci când plăcile sunt
apropiate; în exterior câmpul tinde la \(0\).

Într-un circuit cu o baterie (de exemplu, una de \(3\ \mathrm{V}\)),
tensiunea la bornele condensatorului este aceeași cu cea de la bornele
bateriei: \(V_A - V_B = V_C - V_D\) (unde \(C, D\) sunt bornele
bateriei) - bateria încarcă armăturile exact până când tensiunea dintre
ele egalează tensiunea sa electromotoare.

Apropiind fețele condensatorului la \(V_A - V_B = \text{const}\)
(tensiune impusă, fixă, de baterie), câmpul electric dintre plăci
crește, pentru că \(E = U/d\) cu \(U\) fixat și \(d\) tot mai mic. De
aceea:

\begin{quote}
\textbf{Condensatorul este un concentrator de câmp electric.}
\end{quote}

Este esențial \emph{care} mărime rămâne fixă în acest proces. Dacă
bateria rămâne conectată, ea impune \(V_A - V_B = \text{const}\), iar
\(E = U/d\) crește pe măsură ce \(d\) scade - exact situația de mai sus.
Dacă, în schimb, am încărca mai întâi condensatorul și apoi l-am
deconecta de la baterie (sarcina \(Q\) rămânând fixă), apropierea
plăcilor \emph{nu} ar mai schimba câmpul, pentru că
\(E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 S)\) nu depinde de \(d\);
s-ar schimba, în schimb, tensiunea \(U = Q/C = Qd/(\varepsilon_0 S)\),
care ar scădea odată cu \(d\). Concentrarea câmpului electric este,
așadar, efectul unei surse externe care menține tensiunea constantă în
timp ce geometria condensatorului se strânge.

Contrastul cu un conductor singur, izolat, este exact cel discutat mai
sus: acolo, liniile de câmp se împrăștie în tot spațiul din jur; într-un
condensator cu plăcile apropiate, aceleași linii de câmp sunt strânse
între cele două armături, iar restul spațiului rămâne practic liber de
câmp. Aceasta este ideea - doi conductori apropiați, cu sarcini egale și
opuse - din spatele oricărui condensator real, oricât de complicată ar
fi geometria lui exactă.

\subsection{Rezumat}\label{rezumat}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  \textbf{Teorema reciprocității (Green):} pentru un sistem de \(N\)
  conductori, comparat în două stări de echilibru electrostatic I și II,
  \(\sum_{i=1}^N Q_i V_i' = \sum_{i=1}^N Q_i' V_i\); sarcinile din I se
  combină cu potențialele din II exact ca sarcinile din II cu
  potențialele din I.
\item
  \textbf{Capacitatea conductorului izolat:} \(C = Q/V\), o constantă
  fixată exclusiv de forma și mărimea conductorului; pentru sferă,
  \(C_{\text{sf}} = 4\pi\varepsilon_0 R\), direct proporțională cu raza.
\item
  \textbf{Condensatorul:} doi conductori cu sarcini \(+Q\) și \(-Q\);
  capacitatea \(C = Q/(V_1-V_2)\) este întotdeauna o mărime pozitivă,
  măsurată în farazi (\(\mathrm{F} = \mathrm{C/V}\)).
\item
  \textbf{Condensatorul plan:} \(C_{\text{plan}} = \varepsilon_0 S/d\) -
  direct proporțională cu suprafața plăcilor, invers proporțională cu
  distanța dintre ele; aproximația e valabilă când \(d\) e mult mai mic
  decât dimensiunea plăcilor.
\item
  \textbf{Condensatorul este un concentrator de câmp:} la tensiune fixă,
  micșorarea distanței dintre plăci mărește câmpul electric dintre ele,
  în timp ce câmpul din exterior rămâne aproape nul.
\end{enumerate}

\end{document}
