% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 4: Ecuația Poisson; conductori la echilibru electrostatic},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 4: Ecuația Poisson; conductori la echilibru electrostatic}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Recapitulare}\label{recapitulare}

Din cursurile anterioare reținem relațiile fundamentale ale câmpului
electrostatic:

\[
\begin{aligned}
  \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} &= 0 \qquad (1)\\
  \vec{E} &= -\operatorname{grad} V \qquad (2)\\
  \operatorname{rot} \vec{E} &= 0 \qquad (3)
\end{aligned}
\]

Relația (1) implică, prin teorema Stokes:

\[
\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r}
= \iint_{\Sigma} \left(\operatorname{rot}\vec{E}\right) \cdot \hat{n} \, dS = 0,
\]

ceea ce este consistent cu (3).

Diferența de potențial între două puncte \(1\) și \(2\) este:

\[
V_1 - V_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{r}.
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Integrala de contur a lui E este zero}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_circ_E.png}}
\caption{Integrala de contur a lui E este zero}
\end{figure}

\subsection{Densitatea volumică de sarcină și legătura cu câmpul
electric}\label{densitatea-volumicux103-de-sarcinux103-ux219i-legux103tura-cu-cuxe2mpul-electric}

\subsubsection{Densitatea volumică de
sarcină}\label{densitatea-volumicux103-de-sarcinux103}

Fie un domeniu \(\mathcal{D}\) din spațiu. Definim \textbf{densitatea
volumică de sarcină} în punctul \(P(x,y,z)\) ca:

\[
\rho(x,y,z) = \frac{dQ}{dV} \qquad \left[\mathrm{C/m^3}\right].
\]

Sarcina totală conținută în domeniul \(\mathcal{D}\) este:

\[
Q_{\mathcal{D}} = \int_{\mathcal{D}} dQ = \iiint_{\mathcal{D}} \rho \, dV.
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c04_domeniu_D.svg}}
\caption{Domeniu D delimitat de suprafața Σ, cu elementul de volum dV și
sarcina elementară dQ = ρ dV în punctul P(x, y, z).}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Definitia densității volumice de sarcină rho}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_rho_volum.png}}
\caption{Definitia densității volumice de sarcină rho}
\end{figure}

\subsubsection{Teorema Gauss în formă
integrală}\label{teorema-gauss-uxeen-formux103-integralux103}

Aplicând teorema Gauss (divergenței):

\[
\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS
= \iiint_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{E} \, dV.
\]

Pe de altă parte, legea lui Gauss pentru câmpul electric afirmă că
fluxul lui \(\vec{E}\) printr-o suprafață închisă \(\Sigma\) este egal
cu sarcina interioară împărțită la \(\varepsilon_0\):

\[
\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS
= \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
= \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_{\mathcal{D}} \rho \, dV.
\]

Deoarece relația este valabilă pentru orice domeniu \(\mathcal{D}\),
integranzii trebuie să fie egali. Obținem astfel \textbf{legătura
matematică dintre câmp și sursă}:

\[
\boxed{\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}} \qquad (4)
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Legea Gauss: flux prin suprafata închisă}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_gauss_flux.png}}
\caption{Legea Gauss: flux prin suprafata închisă}
\end{figure}

\subsection{Ecuația lui Poisson}\label{ecuaux21bia-lui-poisson}

\subsubsection{Derivarea ecuației}\label{derivarea-ecuaux21biei}

Combinăm relațiile (2) și (4). Înlocuind
\(\vec{E} = -\operatorname{grad} V\) în (4):

\[
\operatorname{div}(-\operatorname{grad} V) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
\]

Operatorul \(\operatorname{grad}\) în coordonate carteziene este:

\[
\operatorname{grad} V
= \vec{i}\,\frac{\partial V}{\partial x}
+ \vec{j}\,\frac{\partial V}{\partial y}
+ \vec{k}\,\frac{\partial V}{\partial z},
\]

deci:

\[
-\operatorname{div}\!\left(
  \vec{i}\,\frac{\partial V}{\partial x}
  + \vec{j}\,\frac{\partial V}{\partial y}
  + \vec{k}\,\frac{\partial V}{\partial z}
\right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
\]

Aplicând operatorul \(\operatorname{div}\) termen cu termen:

\[
-\left(
  \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)
  + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)
  + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)
\right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
\]

adică:

\[
-\left(
  \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
  + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
\right) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. \qquad (5)
\]

\subsubsection{Operatorul laplacian}\label{operatorul-laplacian}

Introducem \textbf{operatorul laplacian} \(\Delta\) (numit și
\(\nabla^2\)), definit în coordonate carteziene prin:

\[
\Delta \;\overset{\mathrm{def}}{=}\;
\frac{\partial^2}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
\]

Cu această notație, ecuația (5) se rescrie ca
\(-\Delta V = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\), adică:

\[
\boxed{\Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}} \qquad (6)
\]

Aceasta este \textbf{ecuația lui Poisson} - legătura dintre potențialul
electric \(V\) și densitatea de sarcină \(\rho\) care îl produce.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  În regiunile fără sarcini libere (\(\rho = 0\)), ecuația lui Poisson
  se reduce la \textbf{ecuația lui Laplace}: \(\Delta V = 0\).
\item
  Ecuația lui Poisson este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul al
  doilea, fundamentală în electrostatică, electrotehnică și fizica
  matematică.
\end{itemize}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Derivarea pas cu pas a ecuatiei lui Poisson}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_poisson_derivare.png}}
\caption{Derivarea pas cu pas a ecuatiei lui Poisson}
\end{figure}

\subsection{Proprietăți ale conductorilor metalici la echilibru
electrostatic}\label{proprietux103ux21bi-ale-conductorilor-metalici-la-echilibru-electrostatic}

\subsubsection{Structura microscopică a
metalelor}\label{structura-microscopicux103-a-metalelor}

Un material \textbf{izolator} plasat într-un câmp electric nu va fi
practic parcurs de curent electric, atâta timp cât câmpul electric nu
depășește valoarea de străpungere. Un \textbf{conductor metalic} se
deosebește de izolator prin faptul că în interiorul metalului există
electroni liberi, care se pot mișca haotic în toate direcțiile. Nu toți
electronii sunt liberi - doar aceia care provin din straturile marginale
(de valență) ale atomilor.

Concentrația atomilor într-un metal este de ordinul
\(10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}\). Dacă fiecare atom cedează câte un electron
liber, vom avea o concentrație de electroni liberi de același ordin de
mărime:

\[
n_e \approx 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.
\]

Raportul dintre masa protonului și masa electronului este:

\[
\frac{m_p}{m_e} \approx 1836.
\]

Deoarece electronii sunt cu mult mai ușori decât ionii din rețeaua
cristalină, ei răspund practic instantaneu la orice câmp electric
aplicat.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c04_atom_conductor.svg}}
\caption{Comparație izolator--conductor la nivel atomic: electroni
legați față de electroni liberi de valență.}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Miscarea haotică a electronilor liberi în metal}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_electroni_liberi.png}}
\caption{Miscarea haotică a electronilor liberi în metal}
\end{figure}

\subsubsection{Mecanismul atingerii echilibrului
electrostatic}\label{mecanismul-atingerii-echilibrului-electrostatic}

Când un conductor metalic este plasat într-un câmp electric extern
\(\vec{E}_{\text{ext}}\), electronii liberi sunt puși în mișcare
ordonată (contrar câmpului, deoarece au sarcină negativă). Această
mișcare continuă până când câmpul produs de sarcina redistribuită
\(\vec{E}_{\text{dist}}\) îl anulează exact pe cel exterior:

\[
\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_{\text{ext}} + \vec{E}_{\text{dist}} = \vec{0}
\qquad \text{(la echilibru electrostatic)}.
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Redistribuirea sarcinilor pâna la echilibru (animatie vedeta)}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c04_redistrib_echilibru.png}}
\caption{Redistribuirea sarcinilor pâna la echilibru (animatie vedeta)}
\end{figure}

\subsubsection{Proprietățile conductorului la echilibru
electrostatic}\label{proprietux103ux21bile-conductorului-la-echilibru-electrostatic}

La echilibru electrostatic, un conductor metalic prezintă trei
proprietăți fundamentale:

\paragraph{Proprietatea 1: Câmpul electric total în interior este
nul}\label{proprietatea-1-cuxe2mpul-electric-total-uxeen-interior-este-nul}

\[
\vec{E}_{\text{total}} = \vec{0}
\qquad \text{(în interiorul metalului, la echilibru electrostatic).} \qquad (7)
\]

Aceasta este consecința directă a procesului de redistribuire a
sarcinilor descris mai sus.

\paragraph{Proprietatea 2: Sarcina netă se distribuie numai pe
suprafață}\label{proprietatea-2-sarcina-netux103-se-distribuie-numai-pe-suprafaux21bux103}

Din (7) și ecuația (4):

\[
\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
\rho = 0
\qquad \text{(în interiorul metalului).}
\]

Aceasta înseamnă că nu există densitate volumică de sarcină în
interiorul conductorului. Prin urmare, \textbf{sarcina netă cu care este
electrizat metalul se distribuie la echilibru electrostatic exclusiv pe
suprafața acestuia}, nu și în interior.

Demonstrație prin legea Gauss: considerăm o suprafață gaussiană
\(\Sigma\) trasată în interiorul metalului (oriunde, fără să atingă
suprafața exterioară). Deoarece \(\vec{E} = \vec{0}\) în interior:

\[
\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
Q_{\text{int}} = 0.
\]

Aceasta este valabil pentru orice suprafață gaussiană interioară, deci
\(\rho = 0\) pretutindeni în interior, iar sarcina se găsește doar la
suprafață.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c04_sarcina_suprafata.svg}}
\caption{Conductor arbitrar încărcat; suprafața gaussiană Σ trasată în
interior cu E = 0 și Q\_int = 0; sarcinile se găsesc exclusiv pe
suprafața exterioară.}
\end{figure}

\paragraph{Proprietatea 3: Metalul este un sistem
echipotențial}\label{proprietatea-3-metalul-este-un-sistem-echipotenux21bial}

Fie două puncte oarecare \(1\) și \(2\) din interiorul (sau de pe
suprafața) metalului, legate printr-un drum \(\Gamma\) aflat în
interior. Deoarece \(\vec{E} = \vec{0}\) pe tot drumul:

\[
V_1 - V_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
V_1 = V_2.
\]

Prin urmare, \textbf{metalul aflat la echilibru electrostatic este un
sistem echipotențial}: potențialul electric are aceeași valoare în orice
punct al conductorului (interior și suprafață).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c04_echipotential.svg}}
\caption{Conductor arbitrar la echilibru; drum Γ între punctele 1 și 2
în interior; E = 0 pe drum; concluzie V₁ = V₂.}
\end{figure}

\subsection{Rezumat - caracteristicile unui conductor metalic la
echilibru
electrostatic}\label{rezumat---caracteristicile-unui-conductor-metalic-la-echilibru-electrostatic}

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
\tightlist
\item
  Câmpul electric total din interior este nul:
  \[\vec{E}_{\text{total}} = \vec{0} \quad \text{(în interior)}.\]
\item
  Sarcina netă cu care este electrizat metalul se distribuie la
  echilibru electrostatic numai pe suprafața sa, nu și în interior
  (\(\rho = 0\) în interior).
\item
  Metalul este un sistem echipotențial în stare de echilibru
  electrostatic: potențialul este constant în tot conductorul.
\end{enumerate}

\textbf{Notă:} Câmpul electric exterior suprafeței metalului este
perpendicular pe aceasta (altfel componenta tangențială ar pune
electronii în mișcare, contrazicând echilibrul).

\end{document}
