% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 11: Gruparea rezistoarelor. Transfigurarea stea-triunghi},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 11: Gruparea rezistoarelor. Transfigurarea stea-triunghi}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

În Cursul 10 am definit rezistența electrică \(R\) a unui singur
conductor și legea lui Ohm în forma ei integrală, \(U = RI\). Circuitele
reale conțin însă, aproape fără excepție, mai multe rezistoare montate
împreună, iar primul pas în analiza oricărui asemenea circuit este să
înlocuim întreaga rețea, sau o parte a ei, printr-un singur rezistor
echivalent - unul care, legat între aceleași două borne, este parcurs de
exact același curent pentru exact aceeași tensiune aplicată, astfel
încât din exterior cele două montaje să fie complet imposibil de
deosebit. Pentru cele mai simple două grupări, \textbf{seria} și
\textbf{paralelul}, această reducere se obține direct din legile lui
Kirchhoff (legea nodurilor și legea tensiunilor, reluate riguros în
Cursul 14): este exact ce facem în primele două secțiuni ale acestui
curs. Există însă rețele - de exemplu o punte cu cinci rezistoare, cu un
rezistor suplimentar montat chiar pe diagonala ei - care nu se lasă
descompuse complet în grupări serie și paralel, oricâte perechi de
rezistoare am compara. Pentru asemenea cazuri, a doua jumătate a
cursului introduce \textbf{transfigurarea stea-triunghi}
(\(Y \leftrightarrow \Delta\)): o schimbare de rețea care înlocuiește
trei rezistoare montate pe un nod comun cu alte trei rezistoare fără
niciun nod interior (sau invers), păstrând neschimbate curenții și
tensiunile la cele trei borne exterioare - exact ce ne trebuie ca să
eliminăm nodul incomod și să continuăm reducerea rețelei rămase prin
grupări obișnuite.

\subsection{A. Gruparea în serie a
rezistoarelor}\label{a.-gruparea-uxeen-serie-a-rezistoarelor}

Considerăm trei rezistoare \(R_1, R_2, R_3\) legate în serie între
bornele \(A\) și \(B\) - \textbf{montajul 1} - pe care vrem să le
înlocuim cu un singur rezistor echivalent \(R_{es}\), legat între
aceleași două borne - \textbf{montajul 2 (echivalent)} -, astfel încât
cele două montaje să fie imposibil de deosebit din exterior.

Între cele trei rezistoare firul nu se ramifică nicăieri: fiecare capăt
liber al unui rezistor este legat direct, printr-un singur fir, de un
capăt al următorului. Sarcina care iese dintr-un rezistor intră, prin
urmare, în întregime în celălalt - legea nodurilor, aplicată oricăruia
dintre cele două noduri interioare (fiecare cu un singur fir de intrare
și unul de ieșire), impune imediat egalitatea curenților. Rezistoarele
legate în serie sunt deci parcurse de \textbf{același curent} \(I\), iar
tensiunea totală este suma căderilor de tensiune pe fiecare dintre ele -
o consecință directă a legii tensiunilor (Cursul 14): potențialul
variază continuu de-a lungul unui drum, iar suma variațiilor lui pe cele
trei tronsoane consecutive este chiar variația totală, de la un capăt la
altul al lanțului:

\[V_A - V_B = I R_1 + I R_2 + I R_3 \qquad (1)\]

Pentru rezistorul echivalent: \(V_A - V_B = I\,R_{es}\) \((2)\). Egalând
\((1) = (2)\):

\[(R_1 + R_2 + R_3)\,I = I\,R_{es} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;R_{es} = R_1 + R_2 + R_3\;}\]

Argumentul se extinde fără nicio modificare la orice număr de rezistoare
înseriate, \(R_{es} = R_1+R_2+\cdots+R_n\). Cum fiecare rezistență
\(R_i\) este strict pozitivă, din această sumă rezultă o mărginire
imediată și utilă:

\[R_{es} \geq \max(R_1, R_2, \ldots, R_n),\]

de fapt strict mai mare, de îndată ce există cel puțin două rezistoare
nenule în serie
(\(R_{es} = R_{\max} + \text{restul sumei} > R_{\max}\)). Fizic,
adăugarea unui rezistor în serie nu poate decât să mărească rezistența
totală, niciodată să o micșoreze: fiecare rezistor suplimentar este un
obstacol în plus, așezat pe același traseu unic pe care curentul este
obligat să-l parcurgă în întregime.

Analogia hidraulică ajută aici la fel de bine ca la Cursul 10:
rezistoarele înseriate seamănă cu mai multe îngustări succesive, așezate
una după alta, de-a lungul aceleiași conducte unice. Debitul de apă
(analogul curentului \(I\)) este obligatoriu același prin fiecare
îngustare, pentru că apa nu se poate acumula între ele; dar căderea
totală de presiune necesară ca să împingă acest debit prin toate
îngustările la rând (analogul tensiunii \(V_A - V_B\)) este suma
căderilor cerute de fiecare îngustare în parte - de aceea înșiruirea mai
multor obstacole nu poate decât să înrăutățească, niciodată să
amelioreze, trecerea apei.

O consecință imediată a curentului comun este \textbf{divizorul de
tensiune}: tensiunea totală \(V_A - V_B\) se împarte între cele trei
rezistoare direct proporțional cu rezistența fiecăruia,

\[V_k = (V_A - V_B)\,\frac{R_k}{R_1+R_2+R_3}, \qquad k = 1,2,3,\]

modul uzual de a extrage dintr-o singură sursă doar o fracțiune dorită
din tensiunea ei.

\subsection{B. Gruparea în paralel a
rezistoarelor}\label{b.-gruparea-uxeen-paralel-a-rezistoarelor}

Rezistoarele sunt acum legate între \textbf{aceleași} două borne \(A\)
și \(B\) - montajul 1, cu trei ramuri distincte în paralel -, pe care
vrem, la fel ca mai sus, să le înlocuim cu un singur rezistor echivalent
\(R_{ep}\) între aceleași borne - montajul 2. De data aceasta niciun
rezistor nu mai este parcurs, obligatoriu, de același curent ca
celelalte; în schimb, pentru că toate cele trei ramuri pornesc chiar din
\(A\) și ajung chiar în \(B\), toate trei se află sub \textbf{aceeași
tensiune} \(V_A - V_B\), oricare ar fi rezistențele lor - tot o
consecință a legii tensiunilor: diferența de potențial dintre două
puncte fixate, \(A\) și \(B\), este aceeași, indiferent de ramura aleasă
pentru a ajunge de la unul la altul.

Curentul total se distribuie pe cele trei ramuri,
\(I = I_1 + I_2 + I_3\) (legea nodurilor, aplicată nodului \(A\)), cu

\[I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1}, \qquad I_2 = \frac{V_A - V_B}{R_2}, \qquad I_3 = \frac{V_A - V_B}{R_3}.\]

Pentru rezistorul echivalent \(I = \frac{V_A - V_B}{R_{ep}}\), deci:

\[\frac{V_A - V_B}{R_{ep}} = \frac{V_A - V_B}{R_1} + \frac{V_A - V_B}{R_2} + \frac{V_A - V_B}{R_3} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\frac{1}{R_{ep}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\;}\]

Ca și la serie, argumentul se extinde direct la orice număr de
rezistoare în paralel:

\[\frac{1}{R_{ep}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}.\]

Mărginirea de această dată este inversă celei de la serie: cum toți
termenii \(1/R_i\) sunt strict pozitivi, suma lor este cel puțin la fel
de mare ca oricare termen luat separat, deci
\(1/R_{ep} \geq 1/R_{\min}\), adică

\[R_{ep} \leq \min(R_1, R_2, \ldots, R_n),\]

de fapt strict mai mic de îndată ce există cel puțin două rezistoare
finite în paralel. Fizic, fiecare ramură suplimentară deschide un traseu
nou pentru curent, alături de cele deja existente, fără să blocheze
vreunul dintre ele: un rezistor în plus, legat în paralel, nu poate
decât să micșoreze rezistența echivalentă, niciodată să o mărească.

În analogia hidraulică, rezistoarele paralele seamănă cu mai multe
conducte distincte, așezate una lângă alta, care leagă exact aceleași
două rezervoare de apă - deci se află sub aceeași diferență de presiune
(analogul tensiunii \(V_A - V_B\)). Debitul total se împarte pe
conducte, mai mult prin cea mai largă și mai puțin prin cea îngustă, iar
debitul însumat al tuturor (analogul \(I = I_1+I_2+I_3\)) crește odată
cu fiecare conductă adăugată alături de celelalte - de aceea mai multe
trasee paralele oferă întotdeauna o rezistență combinată la curgere mai
mică decât oricare traseu luat separat.

Cazul particular cu doar \textbf{două} rezistoare în paralel este cel
mai des întâlnit în practică și merită o formă explicită. Din
\(\frac{1}{R_{ep}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} = \frac{R_1+R_2}{R_1 R_2}\)
rezultă direct

\[\boxed{\;R_{ep} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\;} \qquad (\text{"produsul supra suma"}),\]

o formulă comodă, dar valabilă \emph{numai} pentru exact două rezistoare
- o greșeală frecventă este extinderea ei directă la trei sau mai multe
rezistoare, unde formula corectă rămâne cea generală, cu suma
inverselor. Din curenții individuali \(I_1 = (V_A-V_B)/R_1\),
\(I_2=(V_A-V_B)/R_2\) și din \(V_A-V_B = I\,R_{ep}\) rezultă, pentru
același caz particular, \textbf{divizorul de curent}:

\[I_1 = I\,\frac{R_2}{R_1+R_2}, \qquad I_2 = I\,\frac{R_1}{R_1+R_2},\]

o relație ``încrucișată'': ramura cu rezistență mai mică primește
ponderea mai mare din curentul total.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Grupare serie / paralel - colapsul la echivalent}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c11_serie_paralel_rezistoare.png}}
\caption{Grupare serie / paralel - colapsul la echivalent}
\end{figure}

\subsubsection{Exemplu: reducerea unei rețele mixte
serie-paralel}\label{exemplu-reducerea-unei-reux21bele-mixte-serie-paralel}

\textbf{Date:} o sursă ideală de tensiune \(U = 24\ \text{V}\)
alimentează rezistorul \(R_1 = 2\ \Omega\), legat în serie cu gruparea
paralelă a rezistoarelor \(R_2 = 6\ \Omega\) și \(R_3 = 3\ \Omega\).

\textbf{Cerință:} rezistența echivalentă a întregii rețele, curentul
debitat de sursă și curentul prin fiecare dintre \(R_2\) și \(R_3\).

\textbf{Rezolvare:} reducem rețeaua din interior spre exterior, exact ca
la citirea unei scheme electrice: mai întâi perechea paralelă,

\[R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2+R_3} = \frac{6\times 3}{6+3} = \frac{18}{9} = 2\ \Omega,\]

apoi seria rămasă cu \(R_1\):

\[R_{\text{tot}} = R_1 + R_{23} = 2+2 = 4\ \Omega.\]

\[\boxed{\;R_{\text{tot}} = 4\ \Omega\;}\]

Curentul debitat de sursă este
\(I = U/R_{\text{tot}} = 24/4 = 6\ \text{A}\). Acest curent traversează
în întregime \(R_1\) (singurul element cu adevărat ``în serie'' cu
sursa), deci tensiunea rămasă pentru perechea paralelă este

\[U_{23} = U - I R_1 = 24 - 6\times 2 = 12\ \text{V},\]

aceeași pentru \(R_2\) și \(R_3\), fiindcă sunt în paralel. Curenții
individuali rezultă direct din legea lui Ohm pe fiecare ramură:

\[I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{12}{6} = 2\ \text{A}, \qquad I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{12}{3} = 4\ \text{A}.\]

Verificare: \(I_2+I_3 = 2+4 = 6\ \text{A} = I\), exact curentul intrat
pe la sursă - legea nodurilor, satisfăcută la borna comună a celor două
ramuri paralele.

\subsection{\texorpdfstring{C. Transfigurarea stea - triunghi
(\(Y \to \Delta\))}{C. Transfigurarea stea - triunghi (Y \textbackslash to \textbackslash Delta)}}\label{c.-transfigurarea-stea---triunghi-y-to-delta}

Grupările serie și paralel rezolvă, prin reduceri succesive, majoritatea
rețelelor - dar nu pe toate: rămân montaje în care niciun rezistor nu
este pur în serie sau pur în paralel cu vreun altul, așa cum am observat
deja în introducere. Pentru acestea, ieșirea din impas este o schimbare
de topologie, nu doar o regrupare: transformăm trei rezistoare montate
în \textbf{stea} (Y), cu un nod interior comun, în alte trei rezistoare
montate în \textbf{triunghi} (\(\Delta\)), fără niciun nod interior,
astfel încât cele două rețele să fie complet echivalente, măsurate din
exterior, la cele trei borne comune.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c11_stea_triunghi_delta.svg}}
\caption{Conexiunile stea (Y) și triunghi (Δ): rezistoarele R₁, R₂, R₃
ale stelei cu nodul comun O, respectiv R₁₂, R₁₃, R₂₃ ale triunghiului,
cu bornele comune 1, 2, 3.}
\end{figure}

În conexiunea \textbf{stea} (montaj 1), cele trei rezistoare
\(R_1, R_2, R_3\) pleacă dintr-un nod comun \(O\) către bornele
\(1, 2, 3\). Conform legii nodurilor (nodul \(O\) nu poate acumula
sarcină, exact ca în Cursul 9):

\[I_1 + I_2 + I_3 = 0, \qquad I_1 = \frac{V_1 - V_0}{R_1}, \quad I_2 = \frac{V_2 - V_0}{R_2}, \quad I_3 = \frac{V_3 - V_0}{R_3}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c11_nod_kirchhoff.svg}}
\caption{Nodul O cu trei curenți de ramură I₁, I₂, I₃: doi intră în nod
și unul iese, ilustrând legea Kirchhoff a curenților, I₁ + I₂ + I₃ = 0.}
\end{figure}

Din suma curenților rezultă potențialul nodului \(O\):

\[\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} = V_0\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right) \;\Rightarrow\; V_0 = \frac{\dfrac{V_1}{R_1} + \dfrac{V_2}{R_2} + \dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}.\]

Notăm \(K = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\). Înlocuind
\(V_0\) în expresiile curenților se obține (de exemplu pentru \(I_2\);
calculul pentru \(I_3\) este identic, doar cu indicii schimbați):

\[I_2 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 R_2\,K} + \frac{V_2 - V_3}{R_2 R_3\,K}, \qquad I_3 = \frac{V_3 - V_1}{R_3 R_1\,K} + \frac{V_3 - V_2}{R_2 R_3\,K},\]

iar din \(I_1 = -I_2 - I_3\) (tot legea nodurilor de la care am pornit),
cei doi termeni în \((V_2-V_3)\) și \((V_3-V_2)\) se reduc reciproc,
rămânând:

\[I_1 = \frac{V_1 - V_2}{R_1 R_2\,K} + \frac{V_1 - V_3}{R_1 R_3\,K}.\]

În conexiunea \textbf{triunghi} (montaj 2), curentul care intră pe la
borna \(1\) se împarte pe cele două laturi care pleacă din ea,
\(I_1 = I_{12} + I_{13}\), cu \(I_{12} = \frac{V_1 - V_2}{R_{12}}\) și
\(I_{13} = \frac{V_1 - V_3}{R_{13}}\) - căderile de tensiune direct pe
fiecare latură, fără niciun nod interior în care să se piardă
informație. Cele două expresii ale lui \(I_1\), cea din stea și cea din
triunghi, trebuie să coincidă oricare ar fi potențialele
\(V_1, V_2, V_3\) aplicate la borne, altfel montajele n-ar fi cu
adevărat echivalente; iar acest lucru este posibil doar dacă termenii
care înmulțesc aceeași diferență de potențial sunt identici, coeficient
cu coeficient. Identificând termenul lui \((V_1-V_2)\),
\(\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1 R_2\,K}\), de unde:

\[R_{12} = R_1 R_2\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\right) = R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{R_3}.\]

Analog pentru celelalte laturi (identificând coeficienții lui
\((V_1-V_3)\), respectiv, printr-un calcul simetric pornind de la
\(I_2\) sau \(I_3\), ai lui \((V_2-V_3)\)):

\[\boxed{\;R_{12} = R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{R_3}, \quad R_{13} = R_1 + R_3 + \frac{R_1 R_3}{R_2}, \quad R_{23} = R_2 + R_3 + \frac{R_2 R_3}{R_1}\;}\]

Observăm ceva esențial pentru scopul întregii transfigurări: nodul
central \(O\) al stelei a dispărut complet din triunghi. Am înlocuit o
rețea cu un nod interior incomod printr-o rețea fără niciun nod interior
suplimentar - exact ce ne permite, într-o rețea mai mare, să eliminăm
nodul care bloca reducerea și să continuăm, pe rețeaua rămasă, cu
grupările serie-paralel obișnuite din secțiunile A și B.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Transfigurarea Y to Delta: echivalența la borne}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c11_stea_triunghi.png}}
\caption{Transfigurarea Y to Delta: echivalența la borne}
\end{figure}

\subsection{\texorpdfstring{D. Transfigurarea triunghi - stea
(\(\Delta \to Y\))}{D. Transfigurarea triunghi - stea (\textbackslash Delta \textbackslash to Y)}}\label{d.-transfigurarea-triunghi---stea-delta-to-y}

Pentru sensul invers, metoda de mai sus - compararea curenților
\(I_1, I_2, I_3\) pentru potențiale \(V_1, V_2, V_3\) complet arbitrare
- rămâne valabilă în principiu, dar sistemul de rezolvat pentru
\(R_1, R_2, R_3\) în funcție de \(R_{12}, R_{13}, R_{23}\) este mai
puțin direct decât cel de mai sus. Este mai simplu să schimbăm
strategia: în loc de potențiale arbitrare la toate cele trei borne,
comparăm rezistența echivalentă \emph{văzută din exterior} între câte o
pereche de borne, cu a treia bornă lăsată complet neconectată (în gol).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c11_stea_triunghi_delta.svg}}
\caption{Conexiunile stea (Y) și triunghi (Δ): rezistoarele R₁, R₂, R₃
ale stelei cu nodul comun O, respectiv R₁₂, R₁₃, R₂₃ ale triunghiului,
cu bornele comune 1, 2, 3.}
\end{figure}

Fixăm bornele \(1\) și \(2\) și lăsăm borna \(3\) liberă, neconectată la
nimic în afara rețelei. În \textbf{stea}, cu borna \(3\) în gol,
rezistorul \(R_3\) ajunge într-un impas: leagă nodul \(O\) de o bornă
fără nicio ieșire, deci nu poate fi parcurs de niciun curent, iar
singurul drum rămas între \(1\) și \(2\) trece prin \(O\), prin \(R_1\)
și \(R_2\) înseriate:

\[R_{12}^{(Y)} = R_1 + R_2.\]

În \textbf{triunghi}, aceeași bornă \(3\) liberă nu izolează nimic:
nodul \(3\) rămâne legat, în interiorul rețelei, atât de \(R_{13}\) cât
și de \(R_{23}\), iar drumul \(1 \to 3 \to 2\) (prin \(R_{13}\) și
\(R_{23}\) înseriate) rămâne deschis, în paralel cu latura directă
\(R_{12}\):

\[R_{12}^{(\Delta)} = \frac{R_{12}\,(R_{13}+R_{23})}{R_{12}+R_{13}+R_{23}}.\]

Pentru ca cele două rețele să fie imposibil de deosebit din exterior,
cele două rezistențe trebuie să coincidă,
\(R_{12}^{(Y)} = R_{12}^{(\Delta)}\), și la fel, prin permutarea
circulară a indicilor \(1,2,3\), pentru celelalte două perechi de borne.
Notăm \(S = R_{12}+R_{13}+R_{23}\); desfăcând membrul drept prin
distributivitate, sistemul celor trei ecuații este:

\[
\begin{aligned}
R_1+R_2 &= \frac{R_{12}(R_{13}+R_{23})}{S} = \frac{R_{12}R_{13}+R_{12}R_{23}}{S}, \\
R_1+R_3 &= \frac{R_{13}(R_{12}+R_{23})}{S} = \frac{R_{12}R_{13}+R_{13}R_{23}}{S}, \\
R_2+R_3 &= \frac{R_{23}(R_{12}+R_{13})}{S} = \frac{R_{12}R_{23}+R_{13}R_{23}}{S}.
\end{aligned}
\]

Adunând cele trei ecuații membru cu membru, fiecare produs
\(R_{12}R_{13}\), \(R_{12}R_{23}\), \(R_{13}R_{23}\) apare exact de două
ori la numărător, iar în membrul stâng fiecare rezistență a stelei
apare, la rândul ei, de două ori:

\[2(R_1+R_2+R_3) = \frac{2(R_{12}R_{13}+R_{12}R_{23}+R_{13}R_{23})}{S} \;\Rightarrow\; R_1+R_2+R_3 = \frac{R_{12}R_{13}+R_{12}R_{23}+R_{13}R_{23}}{S}.\]

Scăzând, pe rând, fiecare dintre cele trei ecuații inițiale din această
sumă, izolăm exact câte o necunoscută: de fiecare dată doi din cei trei
termeni ai numărătorului se reduc reciproc, rămânând un singur produs:

\[
\begin{aligned}
R_1 &= (R_1+R_2+R_3)-(R_2+R_3) = \frac{R_{12}R_{13}}{S}, \\
R_2 &= (R_1+R_2+R_3)-(R_1+R_3) = \frac{R_{12}R_{23}}{S}, \\
R_3 &= (R_1+R_2+R_3)-(R_1+R_2) = \frac{R_{13}R_{23}}{S}.
\end{aligned}
\]

Revenind la notația completă, \(S = R_{12}+R_{13}+R_{23}\):

\[\boxed{\;R_1 = \frac{R_{12}\,R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}, \quad R_2 = \frac{R_{12}\,R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}, \quad R_3 = \frac{R_{13}\,R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\;}\]

Fiecare rezistor al stelei este produsul celor două laturi ale
triunghiului care se întâlnesc chiar la terminalul lui, împărțit la suma
tuturor celor trei laturi - o formă la fel de simetrică precum cea a
transformării inverse din secțiunea C, deși construită printr-o metodă
complet diferită: acolo am comparat curenți la potențiale arbitrare,
aici am comparat rezistențe văzute din exterior, cu câte o bornă lăsată
în gol pe rând.

\subsubsection{\texorpdfstring{Exemplu numeric: verificare încrucișată
\(\Delta \to Y\) și
\(Y \to \Delta\)}{Exemplu numeric: verificare încrucișată \textbackslash Delta \textbackslash to Y și Y \textbackslash to \textbackslash Delta}}\label{exemplu-numeric-verificare-uxeencruciux219atux103-delta-to-y-ux219i-y-to-delta}

\textbf{Date:} un triunghi cu laturile \(R_{12} = 6\ \Omega\),
\(R_{13} = 12\ \Omega\), \(R_{23} = 18\ \Omega\).

\textbf{Cerință:} steaua echivalentă \(R_1, R_2, R_3\).

\textbf{Rezolvare:} suma laturilor este \(S = 6+12+18 = 36\ \Omega\),
deci

\[R_1 = \frac{R_{12}R_{13}}{S} = \frac{6\times12}{36} = 2\ \Omega, \qquad R_2 = \frac{R_{12}R_{23}}{S} = \frac{6\times18}{36} = 3\ \Omega, \qquad R_3 = \frac{R_{13}R_{23}}{S} = \frac{12\times18}{36} = 6\ \Omega.\]

\[\boxed{\;R_1 = 2\ \Omega, \quad R_2 = 3\ \Omega, \quad R_3 = 6\ \Omega\;}\]

Ca verificare, aplicăm acestei stele formulele \(Y \to \Delta\) din
secțiunea C și trebuie să regăsim exact triunghiul de plecare:

\[R_{12} = R_1+R_2+\frac{R_1R_2}{R_3} = 2+3+\frac{2\times3}{6} = 5+1 = 6\ \Omega, \qquad R_{13} = 2+6+\frac{2\times6}{3} = 8+4 = 12\ \Omega, \qquad R_{23} = 3+6+\frac{3\times6}{2} = 9+9 = 18\ \Omega,\]

identice cu datele de plecare: cele două transfigurări, C și D, sunt
într-adevăr inverse una celeilalte.

Am învățat acum să reducem, prin combinarea grupărilor serie, paralel și
a transfigurării stea-triunghi, orice rețea de rezistoare la un singur
rezistor echivalent - iar acolo unde rețeaua conține și surse, aceleași
unelte, împreună cu legile lui Kirchhoff din Cursul 14, determină
complet curentul din fiecare ramură. Până aici, întreaga discuție a
privit exclusiv câmpul electric și efectele lui. Cursul următor deschide
a doua jumătate a electromagnetismului: Oersted a observat, în 1820, că
un curent electric deviază acul unei busole - primul indiciu
experimental că sarcinile în mișcare produc, pe lângă câmpul electric,
și un câmp de natură complet diferită, câmpul magnetic.

\end{document}
