% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 15: Inducția electromagnetică. Autoinducția și circuitul RL},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 15: Inducția electromagnetică. Autoinducția și circuitul
RL}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

În Cursul 12 am scris sistemul complet al ecuațiilor lui Maxwell:

\[
\left\{\;\begin{aligned}
\operatorname{div}\vec{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \operatorname{div}\vec{B} &= 0, \\[6pt]
\operatorname{rot}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & \operatorname{rot}\vec{B} &= \mu_0\!\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)
\end{aligned}\;\right.
\]

și ne-am oprit, mai ales, asupra primelor două: sursele câmpului
electric și absența lor pentru câmpul magnetic. A treia ecuație,
\(\operatorname{rot}\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t\), a rămas
însă exact atât cât încape într-o cutie: am scris-o, am numit-o legea
lui Faraday, și am trecut mai departe spre unda electromagnetică. Ce
anume spune ea despre lumea reală - de ce se aprinde un bec la o dinamo
de bicicletă, de ce zumzăie un transformator, de ce o bobină ``ține''
curentul câteva zecimi de secundă după ce întrerupem sursa - nu am
discutat nicăieri. Legea inducției a lui Faraday a apărut o singură dată
în tot cursul, ca simplă notă istorică despre anul 1831 (Cursul 5), iar
cuvintele ``autoinducție'' și ``transformator'' nu au apărut niciodată.

Acest curs închide exact acest gol, și o face pornind riguros de la ceea
ce știm deja: aceeași ecuație
\(\operatorname{rot}\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t\), aceeași
teoremă a lui Stokes din Cursul 3, același algoritm al căderilor de
tensiune din Cursul 14. Arătăm întâi ce înseamnă legea lui Faraday ca
fenomen fizic și de ce semnul ei minus este o lege de conservare a
energiei deghizată (legea lui Lenz); construim apoi tensiunea
electromotoare de mișcare, generatorul electric în forma lui cea mai
simplă; introducem autoinducția, proprietatea unei bobine de a se opune
propriei ei variații de curent, și rezolvăm circuitul RL exact așa cum
am rezolvat circuitul RC în Cursul 14, cu un contrast fizic izbitor
între cele două; și încheiem cu transformatorul, motivul pentru care
rețeaua electrică mondială funcționează în curent alternativ. La capătul
acestui drum, cele patru ecuații ale lui Maxwell nu mai sunt patru
simboluri într-o cutie, ci patru fenomene pe care le putem construi,
măsura și folosi.

\subsection{Legea inducției a lui Faraday: fluxul magnetic și tensiunea
electromotoare
indusă}\label{legea-inducux21biei-a-lui-faraday-fluxul-magnetic-ux219i-tensiunea-electromotoare-indusux103}

În vara anului 1831, Michael Faraday a înfășurat două bobine de sârmă pe
părțile opuse ale unui inel de fier, a legat una la o baterie și
cealaltă la un galvanometru, și s-a așteptat ca un curent staționar prin
prima bobină să întrețină un curent staționar și prin a doua. Nu s-a
întâmplat așa. Acul galvanometrului a stat nemișcat cât timp curentul
din prima bobină era constant și a tresărit doar în clipa în care
Faraday închidea sau deschidea circuitul - adică exact atunci când
curentul, și odată cu el câmpul magnetic produs, \emph{se schimba}.
Faraday a descoperit astfel că nu câmpul magnetic în sine, ci
\textbf{variația} lui în timp, este cea care pune sarcina în mișcare
într-un circuit vecin, fără nicio baterie și fără niciun contact fizic
între cele două bobine.

\subsubsection{Fluxul magnetic}\label{fluxul-magnetic}

Mărimea care contează este \textbf{fluxul magnetic} prin circuit,
definit la fel ca fluxul oricărui alt câmp de vectori (Cursul 2),
aplicat acum lui \(\vec{B}\): pentru o suprafață deschisă \(S\)
mărginită de conturul circuitului, cu normala \(\hat{n}\),

\[\Phi_B \stackrel{\mathrm{def}}{=} \iint_S \vec{B}\cdot\hat{n}\,dS,\]

măsurat în weberi, \(1\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\cdot\text{m}^2\). Pentru
o buclă plană de arie \(A\) într-un câmp uniform care face unghiul
\(\theta\) cu normala, relația se reduce, ca și la fluxul electric, la
\(\Phi_B = BA\cos\theta\): maxim atunci când bucla ``privește'' direct
spre câmp, nul atunci când stă cu fața paralelă cu el.

Fluxul \(\Phi_B\) se poate schimba în exact trei moduri, iar legea lui
Faraday, așa cum urmează să o scriem, nu distinge deloc între ele:
câmpul \(\vec{B}\) poate crește sau scădea în timp cu bucla nemișcată;
aria \(A\) a circuitului se poate modifica; sau bucla se poate roti,
astfel încât unghiul \(\theta\) să varieze. Primul mecanism stă la baza
transformatorului, celelalte două la baza generatorului electric - le
regăsim pe amândouă mai jos, dar toate trei sunt, pentru legea lui
Faraday, un singur și același lucru: o variație a lui \(\Phi_B\).

\subsubsection{Legea lui Faraday și legătura ei cu Cursul
12}\label{legea-lui-faraday-ux219i-legux103tura-ei-cu-cursul-12}

Distilată din zeci de experimente ca cel de mai sus, legea inducției
electromagnetice a lui Faraday spune că tensiunea electromotoare indusă
în circuit este exact rata de variație a fluxului magnetic prin el:

\[\boxed{\;\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\;}\]

iar pentru o bobină cu \(N\) spire identice, fiecare spiră contribuie cu
propriul ei flux, deci \(\mathcal{E} = -N\,\frac{d\Phi_B}{dt}\).
Tensiunea electromotoare \(\mathcal{E}\) este exact mărimea cu acest
nume din Cursul 14: lucrul mecanic efectuat asupra unității de sarcină
de-a lungul circuitului. Diferența este că, de data aceasta, nu există
nicio baterie, nicio reacție chimică, niciun agent material care să
``împingă'' sarcina - singura sursă a tensiunii electromotoare este
câmpul magnetic care se schimbă.

Ce înseamnă \(\mathcal{E}\) atunci când nicio sarcină nu se mișcă
macroscopic și nicio sursă chimică nu există? Înseamnă că a apărut, cu
adevărat, un câmp electric, doar că unul de un fel nou: nu unul care
pornește radial din sarcini, ca \(\vec{E}\) electrostatic, ci unul care
se \textbf{închide în cerc} în jurul fluxului care variază. Scriind
\(\mathcal{E}\) ca circulație a acestui câmp de-a lungul conturului
\(\Gamma\) - exact circulația \(\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r}\) din
Cursul 1, dar acum nenulă -, legea lui Faraday devine

\[\boxed{\;\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = -\frac{d}{dt}\iint_S \vec{B}\cdot\hat{n}\,dS\;}\]

Contrastul cu electrostatica este exact și izbitor. Câmpul electrostatic
al unor sarcini imobile are circulație nulă pe orice contur închis
(Cursul 1) - tocmai de aceea a putut fi definit un potențial \(V\), o
singură valoare pentru fiecare punct al spațiului. Aici, această
proprietate se rupe: circulația lui \(\vec{E}\) pe conturul \(\Gamma\)
nu mai este zero atunci când fluxul prin \(\Gamma\) variază, deci acest
\(\vec{E}\) \emph{nu} mai este gradientul niciunui potențial - nu mai
putem atribui o singură tensiune bine definită unei regiuni în care
fluxul magnetic se schimbă. Aplicăm teorema lui Stokes (Cursul 3) în
locul ei natural, cu \(\vec{A} = \vec{E}\):

\[\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{r} = \iint_S (\operatorname{rot}\vec{E})\cdot\hat{n}\,dS,\]

și egalăm cele două expresii ale circulației, valabile pentru orice
suprafață \(S\) mărginită de \(\Gamma\):

\[\iint_S (\operatorname{rot}\vec{E})\cdot\hat{n}\,dS = -\iint_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\hat{n}\,dS \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\;\operatorname{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\;}\]

Aceasta este exact a treia ecuație a lui Maxwell scrisă în Cursul 12: un
câmp magnetic care variază în timp este o sursă de rotor pentru câmpul
electric. Am pornit de la un experiment de laborator din 1831 și am
ajuns, prin aceeași teoremă a lui Stokes care în Cursul 3 transforma
\(\oint\vec{E}\cdot d\vec{r}=0\) în \(\operatorname{rot}\vec{E}=0\), la
simbolul care stătea, nedezvoltat, în cutia Cursului 12.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={c12 stokes}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_stokes.png}}
\caption{c12 stokes}
\end{figure}

\subsection{Legea lui Lenz: semnul minus ca lege de conservare a
energiei}\label{legea-lui-lenz-semnul-minus-ca-lege-de-conservare-a-energiei}

Semnul minus din legea lui Faraday nu este un detaliu de convenție, ci
toată morala capitolului, iar Heinrich Lenz i-a dat un nume:
\textbf{curentul indus curge întotdeauna în sensul care se opune
variației de flux care l-a produs.} Dacă fluxul printr-o buclă crește,
curentul indus își creează propriul câmp magnetic, orientat
\emph{invers}, care luptă împotriva creșterii; dacă fluxul scade,
curentul indus își creează un câmp care încearcă să îl susțină. Natura
rezistă la orice schimbare a fluxului magnetic, iar curentul indus este
chiar această rezistență.

Regula nu este arbitrară, ci o cerință directă a conservării energiei,
iar cel mai simplu experiment o face evidentă. Împingem un magnet, cu
polul nord înainte, către o bobină: fluxul prin bobină crește, iar
curentul indus își creează un câmp propriu care transformă fața
apropiată a bobinei tot într-un pol nord, respingând magnetul. Simțim
direct această respingere, ca pe o rezistență mecanică. Pentru a
continua să apropiem magnetul trebuie să efectuăm lucru mecanic
împotriva acestei respingeri, iar acest lucru mecanic este exact energia
electrică ce apare în bobină, disipată în rezistența ei sau livrată
circuitului exterior. Presupunem, pentru o clipă, că semnul ar fi fost
invers - că bobina ar fi \emph{atras} magnetul, nu l-ar fi respins.
Atunci magnetul ar fi accelerat singur spre bobină, fără niciun efort
din exterior, inducând un curent tot mai mare, care l-ar atrage tot mai
tare, la nesfârșit: o mașină care produce energie din nimic. Semnul
minus este exact interdicția naturii asupra acestui ``prânz gratuit''.

Legea lui Lenz este, în același timp, un instrument practic: de câte ori
trebuie stabilit \emph{sensul} unui curent indus, e suficient să găsim
sensul care se opune variației fluxului - crescând sau scăzând - și
acela este răspunsul, fără să mai fie nevoie de niciun calcul
suplimentar de semn.

\subsection{Tensiunea electromotoare de mișcare: tija pe
șine}\label{tensiunea-electromotoare-de-miux219care-tija-pe-ux219ine}

Există un al doilea mod, complementar celui de mai sus, de a schimba
fluxul printr-un circuit: nu schimbând câmpul, ci mișcând circuitul
însuși prin el, iar acest mod ne permite să vedem inducția dintr-un
unghi complet diferit și mult mai fizic. Așezăm două șine paralele, la
distanța \(l\) una de alta, într-un câmp uniform \(\vec{B}\) orientat
perpendicular pe planul lor (spre interiorul paginii), le legăm la un
capăt printr-un rezistor \(R\), și punem o tijă conductoare să alunece
liber pe șine, perpendicular pe ele, cu viteza \(v\).

Pentru a obține tensiunea electromotoare fără să trecem deloc prin legea
lui Faraday, avem nevoie de jumătatea poveștii pe care Cursul 12 nu a
scris-o explicit: cum împinge un câmp magnetic o sarcină aflată în
mișcare. Experimental, forța resimțită de o sarcină \(q\) ce se mișcă cu
viteza \(\vec{v}\) printr-un câmp \(\vec{B}\) este

\[\boxed{\;\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}\;}\]

perpendiculară deopotrivă pe \(\vec{v}\) și pe \(\vec{B}\), de modul
\(F = qvB\sin\theta\); este chiar definiția operațională a lui
\(\vec{B}\) și, fiind mereu perpendiculară pe viteza pe care o deviază,
nu efectuează niciodată lucru mecanic asupra sarcinii libere asupra
căreia acționează. Fiecare purtător de sarcină liber \(q\) din tijă se
mișcă odată cu ea, cu viteza \(\vec{v}\), perpendiculară pe \(\vec{B}\),
deci resimte forța \(q\vec{v}\times\vec{B}\), de modul \(qvB\),
orientată de-a lungul tijei. Această forță împinge sarcina pozitivă spre
un capăt al tijei și lasă celălalt capăt negativ, exact ca o baterie
construită chiar în interiorul tijei. Lucrul mecanic efectuat de această
forță, pe unitatea de sarcină, la deplasarea sarcinii de-a lungul
întregii lungimi \(l\) a tijei, este forța pe unitatea de sarcină
(\(vB\)) înmulțită cu distanța (\(l\)):

\[\boxed{\;\mathcal{E} = B\,l\,v\;}\]

Verificăm rezultatul cu legea fluxului. Într-un interval \(dt\), tija
înaintează cu \(v\,dt\), deci aria buclei crește cu \(l\,v\,dt\) și
fluxul ei cu \(d\Phi_B = B\,l\,v\,dt\). Legea lui Faraday dă atunci
\(|\mathcal{E}| = d\Phi_B/dt = Blv\) - același răspuns, obținut pe două
căi complet diferite: forța magnetică asupra unor sarcini în mișcare, și
rata de variație a fluxului.

Contabilitatea energiei închide cercul și arată de ce acesta este un
generator electric în miniatură. Tensiunea electromotoare pune în
mișcare un curent \(I = Blv/R\) prin circuit. Acest curent, parcurgând
tija aflată chiar în câmpul \(\vec{B}\), face ca tija să resimtă o forță
\(F = BIl = B^2l^2v/R\) care, conform legii lui Lenz, este îndreptată
\emph{împotriva} mișcării. Pentru a menține tija la viteză constantă
trebuie să furnizăm continuu putere mecanică împotriva acestei forțe,

\[P_{\text{mec}} = Fv = \frac{B^2l^2v^2}{R},\]

exact egală cu puterea electrică disipată în rezistor,
\(P_{\text{el}} = I^2R = (Blv/R)^2R = B^2l^2v^2/R\). Fiecare watt de
efort mecanic devine, fără pierdere, un watt de energie electrică. O
centrală electrică nu este, în esență, altceva decât această tijă și
aceste șine, la scară industrială: aburul, apa căzătoare sau vântul
efectuează lucru mecanic pentru a mișca un conductor printr-un câmp
magnetic, iar acel lucru mecanic iese, pe fir, ca energie electrică.

\subsubsection{Exemplu: tija pe șine}\label{exemplu-tija-pe-ux219ine}

\textbf{Date:} o tijă conductoare de lungime \(l = 0{,}4\ \text{m}\)
alunecă pe două șine orizontale, cu viteza \(v = 5\ \text{m/s}\),
într-un câmp magnetic uniform \(B = 0{,}6\ \text{T}\) perpendicular pe
planul șinelor. Șinele sunt închise printr-un rezistor
\(R = 3\ \Omega\).

\textbf{Cerință:} tensiunea electromotoare indusă, curentul prin
circuit, puterea disipată în rezistor, și forța mecanică necesară pentru
a menține tija în mișcare.

\textbf{Rezolvare:} tensiunea electromotoare este

\[\mathcal{E} = Blv = (0{,}6)(0{,}4)(5) = 1{,}2\ \text{V},\]

curentul indus

\[I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{1{,}2}{3} = 0{,}4\ \text{A},\]

iar puterea disipată în rezistor

\[P = I^2R = (0{,}4)^2(3) = 0{,}48\ \text{W}.\]

Forța care se opune mișcării tijei este
\(F = BIl = (0{,}6)(0{,}4)(0{,}4) = 0{,}096\ \text{N}\), deci puterea
mecanică necesară pentru a menține viteza constantă este
\(P_{\text{mec}} = Fv = (0{,}096)(5) = 0{,}48\ \text{W}\) - identică cu
puterea electrică disipată. Verificarea încrucișată confirmă legea lui
Lenz: tot lucrul mecanic depus se regăsește, integral, ca energie
electrică.

\[\boxed{\;\mathcal{E} = 1{,}2\ \text{V}, \qquad I = 0{,}4\ \text{A}, \qquad P = 0{,}48\ \text{W}\;}\]

Merită observată o subtilitate, pentru că spune ceva profund despre
legea fluxului. La tija pe șine, tensiunea electromotoare a venit din
forța magnetică \(q\vec{v}\times\vec{B}\) asupra unor sarcini purtate
printr-un câmp \emph{static}: \(\vec{B}\) nu s-a schimbat nicio clipă în
timp, și nu a fost nevoie de niciun câmp electric indus. La bobina lui
Faraday, dimpotrivă, circuitul a stat pe loc și câmpul s-a schimbat, iar
acolo tensiunea electromotoare a venit dintr-un câmp electric indus
real, cel din \(\operatorname{rot}\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t\)
de mai sus. Sunt două mecanisme fizic distincte - unul magnetic,
celălalt electric -, și totuși o singură formulă,
\(\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt\), le prinde pe amândouă, cu același răspuns
de fiecare dată. Nu este o coincidență întâmplătoare, ci un prim semn al
unității mai adânci dintre câmpul electric și cel magnetic, pe care
teoria relativității avea să o confirme mai târziu: ceea ce numim
``electric'' sau ``magnetic'' depinde de sistemul de referință din care
privim aceleași sarcini în mișcare.

\subsection{Autoinducția: inductanța proprie a unei
bobine}\label{autoinducux21bia-inductanux21ba-proprie-a-unei-bobine}

Un curent care variază produce un câmp magnetic care variază, iar un
câmp magnetic care variază induce o tensiune electromotoare - deci o
bobină parcursă de un curent variabil induce o tensiune electromotoare
\emph{chiar în ea însăși}. Acest fenomen de \textbf{autoinducție} este
analogul magnetic al capacității electrice și înzestrează orice bobină
cu un fel de inerție electrică. Fluxul total pe care o bobină îl
înlănțuie prin propriile ei \(N\) spire este proporțional cu propriul ei
curent,

\[N\Phi_B = LI,\]

iar constanta de proporționalitate \(L\), numită \textbf{inductanța
proprie} (sau autoinductanța) a bobinei, depinde exclusiv de geometria
ei - de formă, de numărul de spire - niciodată de curent. Derivând în
raport cu timpul și folosind legea lui Faraday pentru cele \(N\) spire,
\(\mathcal{E} = -N\,d\Phi_B/dt = -L\,dI/dt\):

\[\boxed{\;\mathcal{E} = -L\,\frac{dI}{dt}\;}\]

Unitatea de măsură a lui \(L\) este henry-ul,
\(1\ \text{H} = 1\ \frac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{A}} = 1\ \frac{\text{Wb}}{\text{A}}\).
Semnul minus este tot legea lui Lenz, aplicată acum bobinei asupra ei
înseși: o bobină se opune oricărei variații a propriului ei curent,
frânând o creștere și susținând o scădere - motivul pentru care, așa cum
vedem mai jos, curentul printr-o bobină nu poate ``sări'' instantaneu de
la o valoare la alta.

\subsubsection{Inductanța unui
solenoid}\label{inductanux21ba-unui-solenoid}

Cel mai curat exemplu de calcul al lui \(L\) este solenoidul: o bobină
lungă, înfășurată strâns, cu \(n\) spire pe unitatea de lungime. Cursul
12 a găsit deja câmpul pe axa unei singure spire de rază \(R\),

\[B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}, \qquad B(0) = \frac{\mu_0 I}{2R},\]

și a arătat că, pentru \(N\) spire suprapuse în același loc, valoarea se
înmulțește cu \(N\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={c12 camp spira B z}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c12_camp_spira_B_z.png}}
\caption{c12 camp spira B z}
\end{figure}

Înșirând acum spirele nu în același loc, ci de-a lungul unei axe lungi,
umerii câmpului fiecărei spire se suprapun cu ai vecinelor ei, iar în
interiorul solenoidului câmpul devine aproape uniform - exact așa cum
mai multe valuri apropiate se contopesc într-o singură ridicătură netedă
de apă. Pentru a găsi valoarea exactă a acestui câmp uniform e mai
simplu să folosim forma integrală a legii lui Ampère decât să însumăm
câmpurile tuturor spirelor. Ecuația a patra a lui Maxwell (Cursul 12),
pentru un curent staționar (fără câmp electric variabil, deci fără
termenul de deplasare), se reduce la
\(\operatorname{rot}\vec{B} = \mu_0\vec{\jmath}\); aplicând teorema lui
Stokes (Cursul 3) exact ca mai sus, dar lui \(\vec{B}\) în loc de
\(\vec{E}\), obținem forma ei integrală,

\[\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{r} = \mu_0 I_{\text{int}}.\]

Alegem un contur dreptunghiular \(\Gamma\), cu o latură de lungime
\(\Delta x\) adânc în interiorul solenoidului, paralelă cu axa, și
latura opusă în exterior, unde câmpul unui solenoid lung este
neglijabil; laturile perpendiculare pe axă nu contribuie deloc, fiind
fie perpendiculare pe \(\vec{B}\) în interior, fie situate într-o
regiune cu \(\vec{B}\approx 0\) în exterior. Circulația se reduce, deci,
la un singur termen, \(B\,\Delta x\), produs chiar de latura interioară.
Conturul înlănțuie exact spirele cuprinse pe lungimea \(\Delta x\),
adică \(n\,\Delta x\) spire, fiecare cu curentul \(I\), deci
\(I_{\text{int}} = n\,\Delta x\,I\). Legea lui Ampère devine
\(B\,\Delta x = \mu_0\,n\,\Delta x\,I\), de unde

\[\boxed{\;B = \mu_0\,n\,I\;}\]

uniform, orientat de-a lungul axei, independent de poziția din
interiorul secțiunii - acesta este câmpul din interiorul oricărui
electromagnet sau bobinaj de laborator. Fluxul printr-o singură spiră de
arie \(A\) este atunci \(\Phi_B = BA = \mu_0 n I A\), iar o lungime
\(\ell\) de solenoid, cu \(N=n\ell\) spire, înlănțuie fluxul total
\(N\Phi_B = (n\ell)(\mu_0 n I A) = \mu_0 n^2 (A\ell)\,I\). Împărțind la
\(I\):

\[\boxed{\;L = \mu_0\,n^2\,(A\ell)\;}\]

proporțională cu volumul \(A\ell\) al bobinajului și cu \emph{pătratul}
densității de spire: înfășurând spirele de două ori mai des, inductanța
crește de patru ori - o dată pentru că fiecare spiră produce un câmp mai
intens, o dată pentru că sunt mai multe spire care înlănțuie acel câmp.

\subsubsection{Energia înmagazinată în câmpul
magnetic}\label{energia-uxeenmagazinatux103-uxeen-cuxe2mpul-magnetic}

Cursul 7 a arătat că încărcarea unui condensator costă energia
\(W_{\text{el}} = \frac12 CU^2\), înmagazinată în câmpul electric dintre
armături. Stabilirea unui curent într-o bobină costă, la fel, energie,
înmagazinată acum în câmpul ei magnetic. Cât timp curentul crește,
bobina se opune cu \(\mathcal{E} = -L\,dI/dt\), iar sursa care învinge
această opoziție livrează puterea
\(P = |\mathcal{E}|\,I = LI\,\frac{dI}{dt}\). Integrând de la curent nul
până la valoarea finală \(I\),

\[W_{\text{mag}} = \int_0^I L I'\,dI' = \boxed{\;\frac12 L I^2\;}\]

perechea magnetică exactă a energiei \(\frac12 CU^2\) a condensatorului:
acolo unde bobina și condensatorul diferă complet ca formă și ca fizică
microscopică, formulele lor de energie au aceeași structură matematică,
un pătrat al mărimii care le caracterizează (curent, respectiv
tensiune), înmulțit cu jumătate din constanta lor geometrică.

\subsection{Circuitul RL: stabilirea și întreruperea
curentului}\label{circuitul-rl-stabilirea-ux219i-uxeentreruperea-curentului}

Cursul 14 a scris, pentru orice element întâlnit de-a lungul unui drum
\(A\to B\) dintr-un circuit, câte o ``rețetă'' pentru căderea de
tensiune: sursă, rezistor, condensator. Adăugăm acum a patra rețetă,
pentru o bobină parcursă de curentul \(I\) (crescător, în sensul
\(A\to B\)):

\[V_A - V_B = +L\,\frac{dI}{dt},\]

exact semnul așteptat de la legea lui Lenz: bobina ``cade'' în tensiune
în sensul care se opune creșterii curentului. Cu această rețetă, legea a
doua a lui Kirchhoff (Cursul 14),
\(\sum_{\text{ochi}}(\text{căderi de tensiune}) = 0\), se aplică unui
circuit RL exact așa cum s-a aplicat circuitului RC.

\subsubsection{Stabilirea curentului}\label{stabilirea-curentului}

Considerăm o sursă ideală de tensiune electromotoare \(\mathcal{E}\), un
întrerupător \(k\), un rezistor \(R\) și o bobină \(L\), toate în serie.
La momentul \(t=0\) închidem întrerupătorul; înainte de acest moment nu
a curs niciun curent prin bobină, deci \(I(0) = 0\). Legea a doua a lui
Kirchhoff pe buclă, cu rețetele de mai sus pentru rezistor și bobină, dă
ecuația circuitului, valabilă în orice moment \(t>0\):

\[\mathcal{E} - IR - L\frac{dI}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dI}{dt} = -\frac{R}{L}\left(I - \frac{\mathcal{E}}{R}\right).\]

Este exact aceeași structură de relaxare exponențială întâlnită la
circuitul RC (Cursul 14): o mărime - acolo \(U_C\), aici \(I\) - se
apropie exponențial de o valoare-țintă - acolo \(\mathcal{E}\), aici
\(\mathcal{E}/R\) -, cu o viteză proporțională chiar cu distanța rămasă
până la țintă. Separând variabilele și integrând de la \(0\) la \(t\),
cu \(I(0)=0\):

\[\int_0^{I} \frac{dI'}{I'-\mathcal{E}/R} = -\int_0^t \frac{R}{L}\,dt' \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\left(\frac{I-\mathcal{E}/R}{-\mathcal{E}/R}\right) = -\frac{R}{L}\,t,\]

de unde, ridicând la exponențială și rearanjând,

\[\boxed{\;I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1-e^{-tR/L}\right)\;}\]

Constanta de timp a circuitului este \(\tau = L/R\) (verificare
dimensională:
\([L]/[R] = (\text{V}\cdot\text{s}/\text{A})/(\text{V}/\text{A}) = \text{s}\),
corect). La \(t=0\), curentul e nul, iar bobina se comportă exact ca un
circuit \emph{întrerupt}: orice tendință de a-l face să sară brusc la o
valoare finită este exact ceea ce autoinducția interzice. Pe măsură ce
timpul trece, opoziția bobinei scade, curentul crește, iar \(I(t)\) se
apropie asimptotic de valoarea finală \(\mathcal{E}/R\), la care
\(dI/dt=0\) și bobina nu mai cade nicio tensiune - se comportă, în regim
staționar, ca un simplu fir conductor. Energia \(\frac12 LI^2\)
calculată mai sus este chiar energia înmagazinată, în orice moment al
acestui proces, în câmpul magnetic al bobinei; restul energiei livrate
de sursă se disipă în \(R\).

Acest comportament este exact oglinda circuitului RC, și merită spus
explicit. Un condensator descărcat, la \(t=0\), permite curentul maxim,
ca și cum ar fi un simplu fir (scurtcircuit); complet încărcat, la
\(t\to\infty\), nu mai permite deloc curent, ca un circuit întrerupt. O
bobină face exact invers: la \(t=0\) se comportă ca un circuit
întrerupt, iar la \(t\to\infty\), ca un simplu fir. Condensatorul și
bobina sunt, în acest sens precis, elemente \emph{duale} una față de
cealaltă.

\subsubsection{Întreruperea
curentului}\label{uxeentreruperea-curentului}

Odată stabilit curentul \(I_0 = \mathcal{E}/R\) în regim staționar,
scoatem sursa din circuit (de exemplu, printr-o a doua poziție a lui
\(k\), care scurtcircuitează direct rezistorul și bobina). Bucla rămasă
conține doar \(R\) și \(L\): bobina, acționând acum ea însăși ca sursă,
împinge curentul prin \(R\), iar legea a doua a lui Kirchhoff dă

\[-IR - L\frac{dI}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dI}{dt} = -\frac{R}{L}I.\]

Separând și integrând, cu \(I(0) = \mathcal{E}/R\):

\[\boxed{\;I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\,e^{-tR/L}\;}\]

cu aceeași constantă de timp \(\tau = L/R\). După exact un \(\tau\),
curentul de stabilire a acoperit \(1-e^{-1}\approx 0{,}63\) din drumul
până la valoarea finală, iar curentul de întrerupere a coborât la
\(e^{-1}\approx 0{,}37\) din valoarea inițială - același ritm,
procentual, ca la circuitul RC. După aproximativ \(5\tau\), regimul
tranzitoriu poate fi considerat, în orice scop practic, încheiat.

\subsubsection{Exemplu: constanta de timp a unui circuit
RL}\label{exemplu-constanta-de-timp-a-unui-circuit-rl}

\textbf{Date:} o bobină cu inductanța \(L = 0{,}6\ \text{H}\) se leagă
în serie cu un rezistor \(R = 15\ \Omega\) și o sursă cu
\(\mathcal{E} = 9\ \text{V}\) (rezistență internă neglijabilă). La
\(t=0\) se închide întrerupătorul.

\textbf{Cerință:} (a) constanta de timp \(\tau\) a circuitului; (b)
curentul prin circuit la momentul \(t=\tau\); (c) după cât timp curentul
atinge \(95\%\) din valoarea sa finală?

\textbf{Rezolvare:} (a)

\[\tau = \frac{L}{R} = \frac{0{,}6}{15} = 0{,}04\ \text{s} = 40\ \text{ms}.\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{1}
\tightlist
\item
  curentul final este
  \(I_{\max} = \mathcal{E}/R = 9/15 = 0{,}6\ \text{A}\), deci,
  indiferent de valorile particulare ale lui \(L\) și \(R\) (regula
  generală a constantei de timp),
\end{enumerate}

\[I(\tau) = I_{\max}\left(1-e^{-1}\right) = 0{,}6\times 0{,}632 \approx 0{,}38\ \text{A}.\]

\begin{enumerate}
\def\labelenumi{(\alph{enumi})}
\setcounter{enumi}{2}
\tightlist
\item
  punem condiția \(I(t) = 0{,}95\,I_{\max}\):
\end{enumerate}

\[1-e^{-t/\tau} = 0{,}95 \;\Rightarrow\; e^{-t/\tau}=0{,}05 \;\Rightarrow\; t=\tau\ln20 = 0{,}04\times 2{,}996 \approx 0{,}12\ \text{s} = 120\ \text{ms},\]

adică aproape exact \(3\tau\).

\[\boxed{\;\tau = 40\ \text{ms}, \qquad I(\tau)\approx 0{,}38\ \text{A}, \qquad t_{95\%}\approx 120\ \text{ms}\;}\]

Dacă, o dată stabilit acest curent staționar, circuitul ar fi întrerupt
prin scurtcircuitarea sursei, constanta de timp ar rămâne
\(\tau = L/R = 40\ \text{ms}\), iar după un \(\tau\) curentul ar fi
coborât la \(37\%\) din valoarea inițială,
\(0{,}6\times0{,}368\approx0{,}22\ \text{A}\).

\subsection{Bobine cuplate: generatorul și
transformatorul}\label{bobine-cuplate-generatorul-ux219i-transformatorul}

Cele două moduri rămase în care fluxul se poate schimba - prin variația
ariei sau a unghiului \(\theta\), nu a câmpului - stau la baza
generatorului electric. O buclă de \(N\) spire și arie \(A\), care se
rotește cu viteza unghiulară \(\omega\) într-un câmp uniform
\(\vec{B}\), are fluxul \(\Phi_B(t) = BA\cos(\omega t)\); legea lui
Faraday, aplicată direct, dă o tensiune electromotoare sinusoidală,

\[\mathcal{E}(t) = -N\frac{d\Phi_B}{dt} = NBA\,\omega\sin(\omega t),\]

de amplitudine \(\mathcal{E}_0 = NBA\omega\). Aceasta este, în esență,
orice generator electric din lume: o turbină (cu abur, apă sau vânt)
rotește mecanic o bobină într-un câmp magnetic, iar inducția face tot
restul. O buclă de \(N=200\) spire, arie \(A=0{,}05\ \text{m}^2\),
într-un câmp \(B=0{,}4\ \text{T}\), rotindu-se la frecvența rețelei
europene (\(f=50\ \text{Hz}\), deci
\(\omega = 2\pi f\approx 314\ \text{rad/s}\)), atinge deja o amplitudine
\(\mathcal{E}_0 = NBA\omega \approx (200)(0{,}4)(0{,}05)(314)\approx 1256\ \text{V}\),
peste un kilovolt - motivul pentru care generatoarele reale nu sunt, în
principiu, mult mai complicate decât acest desen simplu al unei bucle
care se rotește într-un magnet. Pentru că tensiunea electromotoare se
schimbă odată cu \(\sin(\omega t)\), ea alternează periodic de semn:
exact curentul alternativ pe care îl folosește întreaga rețea electrică.

Motivul pentru care rețeaua rămâne în curent alternativ, în loc de
curentul continuu susținut inițial de Edison, este un al doilea
dispozitiv care există \emph{doar} datorită inducției:
\textbf{transformatorul}. Înfășurăm două bobine, cu \(N_p\), respectiv
\(N_s\) spire, pe același miez de fier; un curent alternativ prin bobina
primară produce un flux magnetic alternativ în miez, iar acest flux,
înlănțuit acum și de bobina secundară, induce în ea propria ei tensiune
electromotoare. Cum ambele bobine înlănțuie, spiră cu spiră, exact
același flux \(\Phi_B(t)\),

\[\mathcal{E}_p = -N_p\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \mathcal{E}_s = -N_s\frac{d\Phi_B}{dt},\]

iar împărțind cele două relații, raportul tensiunilor la bornele celor
două bobine este chiar raportul numărului lor de spire:

\[\boxed{\;\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}\;}\]

Într-un transformator ideal, fără pierderi, puterea intrată pe primar
iese, integral, pe secundar, \(V_pI_p = V_sI_s\), deci curenții merg în
raportul invers:

\[\frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s}.\]

Un transformator schimbă, deci, tensiunea pe curent, dar nu poate crea
putere din nimic - exact aceeași conservare a energiei care a fixat
semnul din legea lui Lenz. Iar acest schimb depinde, esențial, de faptul
că fluxul \emph{variază}: dacă am alimenta primarul cu un curent
continuu, staționar, fluxul din miez ar fi constant, \(d\Phi_B/dt = 0\),
iar secundarul nu ar induce absolut nimic - exact experimentul lui
Faraday din 1831 cu care am deschis acest curs, unde un curent staționar
nu a mișcat deloc acul galvanometrului. Un transformator, spre deosebire
de o baterie, funcționează \emph{numai} în curent alternativ.

Miza practică este uriașă. O linie electrică ce transportă puterea \(P\)
la tensiunea \(V\) poartă un curent \(I=P/V\) și pierde, prin efect
Joule în rezistența \(R\) a firelor, puterea \(I^2R = (P/V)^2R\): de
zece ori tensiunea înseamnă de o sută de ori mai puțină pierdere. De
aceea puterea părăsește generatorul la zeci de kilovolți, este ridicată
la sute de kilovolți pentru transportul pe distanță lungă, și este
coborâtă din nou, în trepte, până la cei o sută sau două sute de volți
de la priza din perete - fiecare treaptă realizată de un flux magnetic
care leagă între ele două bobine.

\subsection{Închiderea cercului: inducția ca a treia ecuație a lui
Maxwell}\label{uxeenchiderea-cercului-inducux21bia-ca-a-treia-ecuaux21bie-a-lui-maxwell}

Cursul 12 a scris cele patru ecuații ale lui Maxwell ca pe un sistem
încheiat:

\[
\left\{\;\begin{aligned}
\operatorname{div}\vec{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \operatorname{div}\vec{B} &= 0, \\[6pt]
\operatorname{rot}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & \operatorname{rot}\vec{B} &= \mu_0\!\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)
\end{aligned}\;\right.
\]

Prima ecuație este legea lui Gauss (Cursul 3): sarcina electrică este
sursa câmpului \(\vec{E}\). A doua spune că nu există sarcină magnetică:
liniile lui \(\vec{B}\) se închid mereu pe ele însele. A patra, legea
Ampère-Maxwell, spune că un curent - așa cum am folosit mai sus la
solenoid, unde termenul de deplasare era nul - și, în plus, un câmp
electric care variază sunt surse de rotor pentru \(\vec{B}\). Iar a
treia ecuație,
\(\operatorname{rot}\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t\), este exact
ceea ce am demonstrat și am folosit în acest curs, de la primul rând: un
câmp magnetic care variază este sursă de rotor pentru \(\vec{E}\).
Generatorul, autoinducția unei bobine, circuitul RL și transformatorul
nu sunt patru fenomene separate, ci un singur fenomen, privit din patru
unghiuri diferite - conținutul fizic complet al acestei a treia ecuații.

Simetria dintre a treia și a patra ecuație este cea care, în Cursul 12,
a dus la unda electromagnetică. Un câmp \(\vec{B}\) care variază creează
un câmp \(\vec{E}\) cu rotor (ecuația a treia, acest curs); un câmp
\(\vec{E}\) care variază creează, la rândul lui, un câmp \(\vec{B}\) cu
rotor (ecuația a patra, curentul de deplasare al lui Maxwell). Cele două
mecanisme de inducție, unul electric și unul magnetic, împletite, se
susțin reciproc la infinit, fără nicio sarcină sau curent care să le
întrețină - exact mecanismul din spatele undei electromagnetice cu care
s-a încheiat Cursul 12. Am pornit acest curs de la un ac de galvanometru
care tresare într-un laborator din 1831 și am ajuns, prin același tip de
raționament aplicat consecvent, la mașina electrică a lumii moderne:
fiecare dinam, fiecare bobină, fiecare transformator și fiecare fascicul
de lumină care traversează universul sunt, toate, același fenomen - un
câmp care variază naște un alt câmp.

\end{document}
