% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 3: Teoremele Stokes și Gauss-Ostrogradski; legea lui Gauss},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 3: Teoremele Stokes și Gauss-Ostrogradski; legea lui
Gauss}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Reamintire: componente carteziene ale
rotorului}\label{reamintire-componente-carteziene-ale-rotorului}

Fie \(\vec{A}\) un câmp vectorial cu componentele \((A_x, A_y, A_z)\).
Componentele rotorului în coordonate carteziene sunt:

\[
\begin{aligned}
(\operatorname{rot}\vec{A})_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \\
(\operatorname{rot}\vec{A})_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \\
(\operatorname{rot}\vec{A})_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}.
\end{aligned}
\]

\textbf{Observație.} Operatorii diferențiali \(\operatorname{grad} f\),
\(\operatorname{div}\vec{A}\) și \(\operatorname{rot}\vec{A}\) sunt
definiți \emph{într-un punct} al câmpului.

\subsection{Teorema lui Stokes (teorema
circulației)}\label{teorema-lui-stokes-teorema-circulaux21biei}

\textbf{Teorema Stokes.} Fie \(\vec{A}\) un câmp vectorial de clasă
\(C^1\) și \(\Gamma\) un contur închis care mărginește suprafața
deschisă \(\Sigma\). Atunci:

\[
\boxed{
  \oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot d\vec{r}
  = \iint_{\Sigma} (\operatorname{rot}\vec{A}) \cdot \hat{n}\, dS
}
\]

\textbf{Enunț verbal.} Circulația câmpului \(\vec{A}\) de-a lungul unui
drum închis \(\Gamma\) este egală cu fluxul rotorului câmpului vectorial
\(\vec{A}\) printr-o suprafață arbitrară care se sprijină pe curba
\(\Gamma\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_stokes_suprafata.svg}}
\caption{Suprafață deschisă Σ sprijinită pe conturul închis Π; vectorii
normali unitari m și elementele de drum dr pe Π.}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_stokes_surface.svg}}
\caption{Teorema lui Stokes: conturul închis C mărginește suprafața
deschisă Σ; sensul de parcurgere al lui C și normala n respectă regula
mâinii drepte.}
\end{figure}

\subsubsection{\texorpdfstring{Aplicație: câmpul electric static și
condiția
\(\operatorname{rot}\vec{E}=0\)}{Aplicație: câmpul electric static și condiția \textbackslash operatorname\{rot\}\textbackslash vec\{E\}=0}}\label{aplicaux21bie-cuxe2mpul-electric-static-ux219i-condiux21bia-operatornamerotvece0}

Presupunem \(\vec{A} = \vec{E}\) (câmp electric). Atunci circulația
devine:

\[
\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r}
= \iint_{\Sigma} (\operatorname{rot}\vec{E}) \cdot \hat{n}\, dS.
\]

Știm că pentru câmpul electrostatic (câmp conservativ):

\[
\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
\iint_{\Sigma} (\operatorname{rot}\vec{E}) \cdot \hat{n}\, dS = 0.
\]

Deoarece aceasta trebuie să fie valabilă pentru \emph{orice} suprafață
\(\Sigma\), rezultă:

\[
\boxed{\operatorname{rot}\vec{E} = \vec{0}}.
\]

\textbf{Observație geometrică.} Câmpul electrostatic \(\vec{E}\)
\emph{nu se rotește} (în sensul operatorului rotor); liniile sale de
câmp nu formează vârtejuri.

\subsection{Teorema lui Gauss-Ostrogradski (teorema
flux-divergență)}\label{teorema-lui-gauss-ostrogradski-teorema-flux-divergenux21bux103}

Fie \(\vec{A}\) un câmp vectorial (nu neapărat electric) și \(\Sigma\) o
\emph{suprafață închisă}, care delimitează domeniul \(\mathcal{D}\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_gauss_ostro_domeniu.svg}}
\caption{Domeniu D delimitat de suprafața gaussiană Σ cu normala
exterioară m; element de volum dV în interior.}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_gauss_surface.svg}}
\caption{Suprafață gaussiană închisă S care înconjoară sarcina +Q;
câmpul E străbate suprafața spre exterior.}
\end{figure}

\textbf{Teorema Gauss-Ostrogradski.}

\[
\boxed{
  \oiint_{\Sigma} \vec{A} \cdot \hat{n}\, dS
  = \iiint_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{A}\, dV
}
\]

Teorema \emph{transformă o integrală de suprafață într-o integrală de
volum}.

\textbf{Enunț verbal.} Fluxul câmpului vectorial \(\vec{A}\) printr-o
suprafață închisă \(\Sigma\) este egal cu integrala pe volumul delimitat
de suprafața \(\Sigma\) a divergenței câmpului vectorial.

\subsubsection{Aplicație: câmpul
electric}\label{aplicaux21bie-cuxe2mpul-electric}

Pentru \(\vec{A} = \vec{E}\):

\[
\boxed{
  \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n}\, dS
  = \iiint_{\mathcal{D}} \operatorname{div}\vec{E}\, dV
}
\]

\subsection{Legea lui Gauss}\label{legea-lui-gauss}

\subsubsection{\texorpdfstring{Exemplu: sarcină punctiformă \(Q\) -
suprafață gaussiană
sferică}{Exemplu: sarcină punctiformă Q - suprafață gaussiană sferică}}\label{exemplu-sarcinux103-punctiformux103-q---suprafaux21bux103-gaussianux103-sfericux103}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Flux al sarcinii punctiforme prin sfera gaussiana}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c03_flux_sfera.png}}
\caption{Flux al sarcinii punctiforme prin sfera gaussiana}
\end{figure}

Câmpul electric al sarcinii punctiforme \(Q\):

\[
\vec{E} = \frac{k\,Q}{r^3}\,\vec{r} = \frac{k\,Q}{r^2}\,\hat{r},
\]

unde \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) și \(\hat{r}\) este versorul
radial, orientat dinspre sarcină spre punctul considerat. Componenta
radială a câmpului,

\[
E_r = \vec{E}\cdot\hat{r} = \frac{k\,Q}{r^2},
\]

este o mărime \emph{cu semn}: pozitivă pentru \(Q > 0\) (câmpul iese din
sarcină, în sensul lui \(\hat{r}\)) și negativă pentru \(Q < 0\) (câmpul
intră spre sarcină, în sens opus lui \(\hat{r}\)).

Alegem ca gaussiană o sferă de rază \(r\), centrată chiar în sarcina
\(Q\). Normala exterioară a sferei coincide atunci, în orice punct, cu
direcția radială, \(\hat{n} = \hat{r}\), un fapt pur geometric, adevărat
indiferent de semnul lui \(Q\). Rezultă:

\[
\vec{E}\cdot\hat{n} = \frac{k\,Q}{r^2}\,\hat{r}\cdot\hat{r} = \frac{k\,Q}{r^2} = E_r,
\]

aceeași valoare (cu semnul ei) în orice punct al sferei. Fluxul prin
suprafața sferică \(\Sigma\) de rază \(r\) este atunci:

\[
\begin{aligned}
  \Phi_{\Sigma}
  &= \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n}\, dS
   = \oiint_{\Sigma} E_r\, dS
   = E_r \oiint_{\Sigma} dS \\
  &= E_r \cdot 4\pi r^2
   = \frac{k\,Q}{r^2} \cdot 4\pi r^2
   = \frac{1 \cdot Q \cdot 4\pi}{4\pi\varepsilon_0}
   = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
\end{aligned}
\]

Prin urmare:

\[
\boxed{\Phi_{\Sigma} = \frac{Q}{\varepsilon_0}}
\quad \text{(derivat pentru gaussiană sferică; legea lui Gauss de mai jos arată că fluxul depinde doar de sarcina totală din interior)}.
\]

\textbf{Observație.} Deși vectorul \(\vec{E}\) are, punct cu punct pe
sferă, direcții diferite (căci \(\hat{r}\) variază), componenta sa
radială \(E_r\) este aceeași peste tot pe sferă. De aceea a putut fi
scoasă în afara integralei de flux.

\subsubsection{Fluxul depinde doar de sarcina din interior - mai multe
sarcini}\label{fluxul-depinde-doar-de-sarcina-din-interior---mai-multe-sarcini}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_gaussiene_multiple.svg}}
\caption{Patru suprafețe gaussiene Σ₁--Σ₄ în jurul unor configurații
diferite de sarcini; fluxul depinde doar de sarcina totală din
interior.}
\end{figure}

Fie mai multe sarcini \(q_1, q_2, q_3, q_4\) distribuite în spațiu,
fiecare cu propriul câmp electric. Prin principiul superpoziției, câmpul
total este suma câmpurilor individuale,
\(\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4\), iar fluxul,
fiind o integrală, este el însuși liniar: fluxul total printr-o
suprafață închisă oarecare este suma fluxurilor create separat de cele
patru sarcini. Din rezultatul obținut mai sus pentru sarcina
punctiformă, fiecare sarcină contribuie cu \(q_i/\varepsilon_0\) dacă se
află în interiorul suprafeței și cu \(0\) dacă se află în exterior
(liniile ei de câmp care intră prin suprafață ies tot prin ea, iar
contribuțiile de intrare și de ieșire se anulează reciproc). Aplicând
acest raționament pentru patru suprafețe gaussiene diferite, fiecare
înconjurând o altă submulțime din cele patru sarcini (vezi figura),
obținem:

\[
\begin{aligned}
  \Phi_{\Sigma_1} &= \frac{q_1 + q_2 + q_3 + q_4}{\varepsilon_0}
    & &\text{(toate sarcinile în interior)}, \\
  \Phi_{\Sigma_2} &= \frac{q_2}{\varepsilon_0}
    & &\text{(numai } q_2 \text{ în interior)}, \\
  \Phi_{\Sigma_3} &= 0
    & &\text{(nicio sarcină în interior)}, \\
  \Phi_{\Sigma_4} &= \frac{q_1 + q_3}{\varepsilon_0}
    & &\text{(sarcinile } q_1 \text{ și } q_3 \text{ în interior)}.
\end{aligned}
\]

Observăm că fiecare suprafață ``vede'' doar sarcinile din interiorul ei:
cele din exterior, oricât de aproape, nu contribuie deloc la flux.

\textbf{Legea lui Gauss (forma integrală):}

\[
\boxed{
  \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n}\, dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
} \qquad (1)
\]

Fluxul câmpului electric printr-o suprafață gaussiană \(\Sigma\) este
egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice cuprinse în interiorul
suprafeței, împărțită la permitivitatea electrică a vidului
\(\varepsilon_0\).

\subsection{Aplicație: distribuție plană uniformă de
sarcină}\label{aplicaux21bie-distribuux21bie-planux103-uniformux103-de-sarcinux103}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_plan_pillbox.svg}}
\caption{Distribuție plană uniformă de sarcină cu densitate σ; gaussiana
de tip cutie (pillbox) cu fețele paralele planului de sarcini.}
\end{figure}

Considerăm un plan infinit cu densitate superficială de sarcină
\(\sigma\) (\(\mathrm{C/m^2}\)). Prin simetrie, câmpul electric
\(\vec{E}\) este perpendicular pe plan și are același modul pe ambele
părți.

Alegem ca suprafață gaussiană un paralelipiped (``pillbox'') cu fețele
de arie \(S\) paralele cu planul de sarcini. Fluxul total:

\[
\begin{aligned}
  \Phi_{\Sigma}
  &= \Phi_{\text{sus}} + \Phi_{\text{jos}} + \Phi_{\text{dreapta}}
   + \Phi_{\text{stânga}} + \Phi_{\text{față}} + \Phi_{\text{spate}} \\
  &= E\cdot S + E\cdot S + 0 + 0 + 0 + 0 \\
  &= 2\,E\,S.
\end{aligned}
\]

Explicație: pe fețele perpendiculare față de \(\vec{E}\), unghiul dintre
\(\hat{n}\) și \(\vec{E}\) este \(90°\), deci \(\cos 90° = 0\) și
contribuția este nulă. Pe fețele paralele față de planul de sarcini,
\(\vec{E}\) face unghi \(0°\) cu \(\hat{n}\) exterior, deci contribuția
este \(E\cdot S\cdot\cos 0° = E\cdot S\).

Sarcina inclusă în gaussiană:

\[
Q_{\text{int}} = \sigma \cdot S \qquad \bigl[\mathrm{C/m^2} \cdot \mathrm{m^2}\bigr].
\]

Aplicând legea lui Gauss (1):

\[
2\,E\,S = \frac{\sigma\,S}{\varepsilon_0}
\quad \Longrightarrow \quad
\boxed{|E| = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}}
\]

Rezultatul \emph{nu depinde de grosimea cutiei} (pillbox-ului), ci doar
de densitatea superficială \(\sigma\).

\subsection{Aplicație: câmpul electric al unei sfere încărcate uniform
pe
suprafață}\label{aplicaux21bie-cuxe2mpul-electric-al-unei-sfere-uxeencux103rcate-uniform-pe-suprafaux21bux103}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c03_sfera_interior.svg}}
\caption{Sferă cu sarcina distribuită uniform pe suprafață (densitate
σ); gaussiana sferică de raza r \textless{} R în interior nu cuprinde
nicio sarcină --- Q\_int = 0.}
\end{figure}

Considerăm o sferă de rază \(R\) cu sarcina totală \(Q\) distribuită
uniform pe suprafața sa (un înveliș subțire încărcat). Prin simetrie
sferică, câmpul electric \(\vec{E}\) este radial și are același modul în
orice punct aflat la aceeași distanță \(r\) de centru, atât în
interiorul cât și în exteriorul sferei.

\subsubsection{\texorpdfstring{Câmpul interior
(\(r < R\))}{Câmpul interior (r \textless{} R)}}\label{cuxe2mpul-interior-r-r}

Alegem ca gaussiană o sferă de rază \(r < R\) (în interiorul sferei
încărcate). Sarcina inclusă este:

\[
Q_{\text{int}} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Phi_{\Sigma} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0.
\]

Fluxul printr-o sferă de rază \(r\):

\[
\Phi_{\Sigma} = 4\pi r^2 \cdot E = 0
\quad \Longrightarrow \quad E = 0 \quad \text{în interior.}
\]

\subsubsection{\texorpdfstring{Câmpul exterior
(\(r > R\))}{Câmpul exterior (r \textgreater{} R)}}\label{cuxe2mpul-exterior-r-r}

Alegem acum ca gaussiană o sferă de rază \(r > R\), care înconjoară
toată sarcina de pe suprafața sferei. Sarcina inclusă este de această
dată sarcina totală:

\[
Q_{\text{int}} = Q \quad \Longrightarrow \quad \Phi_{\Sigma} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
\]

Fluxul printr-o sferă de rază \(r\):

\[
\Phi_{\Sigma} = 4\pi r^2 \cdot E = \frac{Q}{\varepsilon_0}
\quad \Longrightarrow \quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{kQ}{r^2}.
\]

\textbf{Concluzie.} Câmpul electric în interiorul unei sfere uniform
încărcate pe suprafață este zero. În exterior, sfera se comportă exact
ca o sarcină punctiformă \(Q\) situată în centrul ei, \(E = kQ/r^2\).
Câmpul trece brusc, chiar la suprafața \(r = R\) unde este localizată
sarcina, de la \(0\) (imediat în interior) la \(kQ/R^2\) (imediat în
exterior).

\end{document}
