% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 2: Fluxul câmpului electric{,} divergența și rotorul},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 2: Fluxul câmpului electric, divergența și rotorul}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Recapitulare: circulația câmpului
electric}\label{recapitulare-circulaux21bia-cuxe2mpului-electric}

Câmpul electric \(\vec{E}\) este tangent la liniile de câmp în fiecare
punct. Fie două drumuri \(\Gamma_1\) și \(\Gamma_2\) care leagă punctele
\(1\) și \(2\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Circulația câmpului electric pe două drumuri}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_circulatie_drum.png}}
\caption{Circulația câmpului electric pe două drumuri}
\end{figure}

Circulația câmpului electric este \emph{independentă de drum}:

\[\int_{\Gamma_1} \vec{E} \cdot d\vec{r} \;=\; \int_{\Gamma_2} \vec{E} \cdot d\vec{r}.\]

O consecință directă este că circulația pe orice contur închis
\(\Gamma\) este nulă:

\[\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0. \qquad (1)\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Circulația pe contur închis este zero}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_circ_contur_inchis.png}}
\caption{Circulația pe contur închis este zero}
\end{figure}

Aceasta este una dintre proprietățile fundamentale ale câmpului
electrostatic și stă la baza caracterului său irotațional (demonstrat în
secțiunea dedicată de mai jos).

\subsection{Fluxul câmpului electric}\label{fluxul-cuxe2mpului-electric}

\subsubsection{Definiție pentru o suprafață
plană}\label{definiux21bie-pentru-o-suprafaux21bux103-planux103}

Fie \(\vec{A}\) un câmp vectorial oarecare, uniform, \(S\) aria unei
suprafețe plane dreptunghiulare și \(\hat{n}\) vectorul normal la acea
suprafață, cu \(|\hat{n}|=1\). Mulțimea tuturor punctelor care formează
suprafața se notează \(\Sigma\).

\textbf{Definiție:}

\[\boxed{\Phi \;\stackrel{\mathrm{def}}{=}\; \vec{A} \cdot \hat{n} \, S} \qquad (2)\]

\emph{(fluxul câmpului de vectori \(\vec{A}\) prin suprafața
\(\Sigma\))}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Definiția fluxului printr-o suprafață plană}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_flux_def_plana.png}}
\caption{Definiția fluxului printr-o suprafață plană}
\end{figure}

Deoarece \(\vec{A} \cdot \hat{n} = A\cos\theta\) (unde \(\theta\) este
unghiul dintre \(\vec{A}\) și \(\hat{n}\)), formula devine:

\[\Phi = A \cdot S \cdot \cos\theta.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c02_flux_normala.svg}}
\caption{Fluxul câmpului E printr-o suprafață de arie A: contează doar
componenta lui E de-a lungul normalei n, adică unghiul θ dintre E și n.}
\end{figure}

\subsubsection{Cazuri particulare}\label{cazuri-particulare}

\textbf{Cazul 1 - suprafață verticală (\(\theta = 0\), câmpul
perpendicular pe suprafață).} Vectorul \(\vec{A}\) este paralel cu
\(\hat{n}\), deci \(\cos 0 = 1\):

\[\boxed{\Phi = A \cdot S} \quad \text{(flux maxim)}.\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Flux maxim: suprafață perpendiculară pe câmp}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_flux_perpendicular.png}}
\caption{Flux maxim: suprafață perpendiculară pe câmp}
\end{figure}

\textbf{Cazul 2 - suprafață orizontală (\(\theta = 90°\), câmpul paralel
cu suprafața).} Vectorul \(\vec{A}\) este perpendicular pe \(\hat{n}\)
(paralel cu planul suprafeței), deci \(\cos 90° = 0\):

\[\boxed{\Phi = 0} \quad \text{(flux nul, suprafață orizontală față de câmp)}.\]

Acesta este un \emph{punct de anulare} al fluxului, nu minimul funcției
\(\Phi(\theta) = A \cdot S \cdot \cos\theta\): pentru \(\theta\) între
\(90°\) și \(180°\), \(\cos\theta\) devine negativ, iar câmpul
traversează suprafața în sensul opus normalei \(\hat{n}\); minimul
propriu-zis, \(\Phi = -A\cdot S\), se atinge abia la \(\theta = 180°\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Flux nul: suprafață paralelă cu câmpul}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_flux_paralel.png}}
\caption{Flux nul: suprafață paralelă cu câmpul}
\end{figure}

\textbf{Cazul 3 - suprafață oblică (unghi \(\alpha\) arbitrar).}

Unghiul \(\alpha\) dintre \(\vec{A}\) și \(\hat{n}\) este același unghi
notat \(\theta\) mai sus, redenumit aici pentru a sublinia că poate lua
orice valoare între \(0°\) și \(180°\) - cazurile 1 și 2 sunt doar
situațiile extreme \(\alpha = 0°\) și \(\alpha = 90°\) ale acestei
formule generale.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Flux oblic: rotirea suprafeței față de câmp}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c02_flux_oblic.png}}
\caption{Flux oblic: rotirea suprafeței față de câmp}
\end{figure}

\[\Phi_E = A \cdot S \cdot \cos\alpha \quad \text{(flux oarecare, suprafață orientată oblic)}.\]

\subsubsection{Flux printr-o suprafață curbă
oarecare}\label{flux-printr-o-suprafaux21bux103-curbux103-oarecare}

Pe o suprafață curbă \(\Sigma\), vectorul normal \(\hat{n}\) are
orientare \emph{diferită în fiecare punct} al suprafeței.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c02_flux_curb.svg}}
\caption{Suprafață curbă Σ cu elementul de arie dS, normala locală m și
câmpul A variabil de-a lungul suprafeței.}
\end{figure}

Fluxul elementar pe elementul de suprafață \(dS\) este:

\[d\Phi_{\Sigma} = \vec{A} \cdot \hat{n} \, dS.\]

Prin integrare pe toată suprafața \(\Sigma\):

\[\Phi_{\Sigma} = \int_{\Sigma} d\Phi_{\Sigma} = \int_{\Sigma} \vec{A} \cdot \hat{n} \, dS.\]

Particularizând pentru câmpul electric (\(\vec{A} = \vec{E}\)), obținem
\textbf{definiția fluxului câmpului electric printr-o suprafață
oarecare}:

\[\boxed{\Phi_{\Sigma} = \int_{\Sigma} \vec{E} \cdot \hat{n} \, dS}\]

\subsection{Divergența unui câmp
vectorial}\label{divergenux21ba-unui-cuxe2mp-vectorial}

Fie \(\vec{A}\) un câmp vectorial cu componentele carteziene:

\[\vec{A} = \vec{i}\, A_x + \vec{j}\, A_y + \vec{k}\, A_z.\]

\textbf{Definiție:}

\[\boxed{\operatorname{div}\vec{A} \;\stackrel{\mathrm{def}}{=}\; \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \;=\; \nabla \cdot \vec{A}}\]

\textbf{Exemplu de calcul - divergența vectorului de poziție
\(\vec{r} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\):}

\[\operatorname{div}\vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.\]

\textbf{Semnificație fizică:} divergența unui câmp vectorial într-un
punct P este egală cu limita raportului dintre fluxul net al câmpului
printr-o suprafață închisă ce înfășoară punctul P și volumul inclus,
când volumul tinde la zero.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c02_divergence_box.svg}}
\caption{Divergența ca flux net pe unitatea de volum: câmpul A străbate
fețele unui volum elementar dV, ieșind în exterior.}
\end{figure}

\subsubsection{\texorpdfstring{Câmpul \(\vec{r}/r^3\) - expresie
explicită}{Câmpul \textbackslash vec\{r\}/r\^{}3 - expresie explicită}}\label{cuxe2mpul-vecrr3---expresie-explicitux103}

Vectorul de poziție raportat la distanța la cub este:

\[\frac{\vec{r}}{r^3} = \frac{x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}} = \frac{x}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,\vec{i} + \frac{y}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,\vec{j} + \frac{z}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\,\vec{k}.\]

Calculăm divergența acestui câmp, derivând fiecare componentă în raport
cu propria variabilă. Pentru componenta după \(x\):

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\!\left[\frac{x}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right] &= \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} + x\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2}\cdot 2x \\ &= \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - 3x^2\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2}. \end{aligned}\]

Prin simetrie ciclică în \(x,y,z\), celelalte două derivate parțiale au
aceeași formă:

\[\frac{\partial}{\partial y}\!\left[\frac{y}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right] = \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - 3y^2\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left[\frac{z}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right] = \bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - 3z^2\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2}.\]

Sumând cele trei derivate parțiale, conform definiției divergenței:

\[\begin{aligned} \operatorname{div}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right) &= 3\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - 3\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)\cdot\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2} \\ &= 3\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - 3\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} \\ &= 0. \end{aligned}\]

\[\boxed{\operatorname{div}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right) = 0} \quad \text{pentru orice punct cu } r \neq 0.\]

În origine (\(r=0\)) câmpul \(\vec{r}/r^3\) nu mai este definit -
numitorul se anulează -, iar acolo este concentrată o singularitate a
divergenței. Rezultatul de mai sus este esențial: divergența nulă în
orice punct din afara originii înseamnă că, peste tot cu excepția
originii, liniile câmpului \(\vec{r}/r^3\) nu apar și nu dispar
nicăieri, ci doar traversează fiecare regiune a spațiului fără să se
creeze sau să se anihileze. Toată ``sursa'' câmpului este concentrată
exact în origine, acolo unde s-ar afla o sarcină electrică punctiformă.
Această proprietate este motivul pentru care legea lui Gauss va
funcționa (subiectul cursului următor): fluxul câmpului electric
printr-o suprafață închisă depinde exclusiv de sarcina electrică închisă
în interior, niciodată de sarcinile aflate în exterior.

\subsection{Rotorul unui câmp
vectorial}\label{rotorul-unui-cuxe2mp-vectorial}

\textbf{Definiție} (scriere compactă ca determinant formal):

\[\boxed{\operatorname{rot}\vec{A} \;\stackrel{\mathrm{def}}{=}\; \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}}\]

\textbf{Scriere analitică a rotorului} (componentele carteziene):

\[\begin{aligned} \bigl(\operatorname{rot}\vec{A}\bigr)_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\ \bigl(\operatorname{rot}\vec{A}\bigr)_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \bigl(\operatorname{rot}\vec{A}\bigr)_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{aligned}\]

Desfăcând determinantul:

\[\operatorname{rot}\vec{A} = \vec{i}\!\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \vec{j}\!\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \vec{k}\!\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right).\]

\textbf{Semnificație fizică:} componenta rotorului unui câmp vectorial
într-un punct P, după o direcție \(\hat{n}\), este egală cu limita
raportului dintre circulația câmpului pe un contur mic închis care
înconjoară punctul P (situat într-un plan perpendicular pe \(\hat{n}\))
și aria înconjurată de acel contur, când aria tinde la zero - rotorul
este deci o \emph{circulație pe unitatea de arie}. Intuitiv, dacă am
plasa o mică paletă (o roată cu palete, ca la o moară de apă) în câmpul
\(\vec{A}\), ea s-ar roti cu o viteză unghiulară proporțională cu
\(|\operatorname{rot}\vec{A}|\), în jurul axei indicate de direcția
vectorului \(\operatorname{rot}\vec{A}\); dacă paleta rămâne nemișcată
în orice punct și orientare, câmpul este irotațional.

\subsubsection{Produsul vectorial - formulă
determinantală}\label{produsul-vectorial---formulux103-determinantalux103}

Produsul vectorial al doi vectori oarecare
\(\vec{a} = a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\) și
\(\vec{b} = b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}\) se calculează identic ca
un determinant:

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \vec{i}(a_y b_z - a_z b_y) + \vec{j}(a_z b_x - b_z a_x) + \vec{k}(a_x b_y - a_y b_x).\]

Componentele explicite:

\[\begin{aligned} \bigl(\vec{a}\times\vec{b}\bigr)_x &= a_y b_z - a_z b_y, \\ \bigl(\vec{a}\times\vec{b}\bigr)_y &= a_z b_x - b_z a_x, \\ \bigl(\vec{a}\times\vec{b}\bigr)_z &= a_x b_y - a_y b_x. \end{aligned}\]

\subsection{Exemple de aplicabilitate a
operatorilor}\label{exemple-de-aplicabilitate-a-operatorilor}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\operatorname{rot} r^3\) - \textbf{incorect}: rotorul se aplică unui
  câmp \emph{vectorial}, nu unui scalar.
\item
  \(\operatorname{div} r^2\) - \textbf{incorect}: divergența se aplică
  numai câmpurilor vectoriale, nu scalarilor.
\item
  \(\operatorname{grad} r^3\) - \textbf{corect}: gradientul se aplică
  unui scalar și produce un vector.
\end{itemize}

\subsubsection{\texorpdfstring{Rotorul câmpului
\(\vec{r}/r^3\)}{Rotorul câmpului \textbackslash vec\{r\}/r\^{}3}}\label{rotorul-cuxe2mpului-vecrr3}

Câmpul vectorial:

\[\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3} = \frac{x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}},\]

cu componentele:

\[\begin{aligned} A_x &= \frac{x}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}, \\ A_y &= \frac{y}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}, \\ A_z &= \frac{z}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}. \end{aligned}\]

Calculăm componenta \(x\) a rotorului:

\[\begin{aligned} \left[\operatorname{rot}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right)\right]_x &= \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{z}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{y}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}\right) \\ &= z \cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} - y \cdot \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-3/2} \\ &= z \cdot \left(-\tfrac{3}{2}\right)\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2} \cdot 2y - y \cdot \left(-\tfrac{3}{2}\right)\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2} \cdot 2z \\ &= -3yz\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2} + 3yz\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-5/2} \\ &= 0. \end{aligned}\]

Prin calcule identice (prin simetrie ciclică în \(x,y,z\)):

\[\left[\operatorname{rot}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right)\right]_y = 0, \qquad \left[\operatorname{rot}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right)\right]_z = 0.\]

Prin urmare:

\[\boxed{\operatorname{rot}\!\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right) = \vec{0}.} \qquad (3)\]

\subsection{Câmpul electrostatic este
irotațional}\label{cuxe2mpul-electrostatic-este-irotaux21bional}

Câmpul electric al unei sarcini punctiforme \(Q\) plasate în origine
este (legea lui Coulomb):

\[\vec{E} = \frac{kQ}{r^3}\,\vec{r},\]

unde \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) este constanta lui Coulomb.

Deoarece \(\vec{E}\) este proporțional cu \(\vec{r}/r^3\) și am
demonstrat că \(\operatorname{rot}(\vec{r}/r^3)=\vec{0}\) (ecuația (3)),
rezultă că rotorul câmpului acestei sarcini este nul:

\[\boxed{\operatorname{rot}\vec{E} = \vec{0}} \quad \text{(pentru câmpul unei sarcini punctiforme).}\]

Rezultatul de mai sus a fost demonstrat pentru câmpul unei singure
sarcini punctiforme \(Q\), plasată chiar în originea sistemului de
coordonate - dar concluzia rămâne valabilă indiferent unde este plasată
sarcina, pentru că originea poate fi mutată oriunde fără să schimbe
rezultatul geometric al calculului. Dacă avem un câmp produs de mai
multe sarcini punctiforme, fiecare câmp individual are, conform celor de
mai sus, rotor nul. Cum operatorul rotor este liniar,

\[\operatorname{rot}\bigl(\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots + \vec{E}_n\bigr) = \operatorname{rot}\vec{E}_1 + \operatorname{rot}\vec{E}_2 + \cdots + \operatorname{rot}\vec{E}_n = \vec{0},\]

rotorul sumei este suma rotorilor, adică tot nul. Prin superpoziție,
putem afirma că, indiferent de câte sarcini și cum sunt așezate,
\textbf{orice câmp electrostatic} - câmpul produs de ansamblul lor -
este irotațional, nu doar câmpul unei sarcini izolate.

Teorema lui Stokes leagă cele două forme, integrală (circulația) și
diferențială (rotorul), printr-o singură identitate: pentru orice
suprafață deschisă \(\Sigma\) mărginită de conturul închis \(\Gamma\),
cu \(\hat{n}\) orientat conform regulii mâinii drepte față de sensul de
parcurgere al lui \(\Gamma\),

\[\boxed{\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \iint_{\Sigma} \bigl(\operatorname{rot}\vec{A}\bigr) \cdot \hat{n} \, dS}\]

adică circulația unui câmp vectorial \(\vec{A}\) de-a lungul conturului
\(\Gamma\) este egală cu fluxul rotorului său prin orice suprafață
\(\Sigma\) care se sprijină pe acel contur.

Aplicând-o câmpului electrostatic, cu \(\vec{A} = \vec{E}\), și folosind
\(\operatorname{rot}\vec{E} = \vec{0}\) (demonstrat mai sus pentru orice
câmp electrostatic), integrala din dreapta se anulează pentru
\textbf{orice} suprafață \(\Sigma\):

\[\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \iint_{\Sigma} \bigl(\operatorname{rot}\vec{E}\bigr) \cdot \hat{n} \, dS = \iint_{\Sigma} \vec{0} \cdot \hat{n} \, dS = 0,\]

adică circulația câmpului electric pe orice contur închis \(\Gamma\)
este nulă - regăsim exact proprietatea (1), de data aceasta pornind de
la forma diferențială (locală, rotorul nul în fiecare punct), nu de la
forma integrală (globală) cu care am pornit lecția.

\begin{quote}
\textbf{Concluzie:} câmpul electrostatic este un \emph{câmp
irotațional}. Aceasta este echivalentă cu proprietatea (1): circulația
câmpului electric pe orice contur închis este nulă, așa cum am regăsit
mai sus cu ajutorul teoremei lui Stokes.
\end{quote}

\end{document}
