% Options for packages loaded elsewhere
\PassOptionsToPackage{unicode}{hyperref}
\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\documentclass[
  romanian,
  a4paper,
]{article}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\setcounter{secnumdepth}{-\maxdimen} % remove section numbering
\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math} % this also loads fontspec
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
\usepackage{lmodern}
\ifPDFTeX\else
  % xetex/luatex font selection
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\IfFileExists{microtype.sty}{% use microtype if available
  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\makeatletter
\@ifundefined{KOMAClassName}{% if non-KOMA class
  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
\newsavebox\pandoc@box
\newcommand*\pandocbounded[1]{% scales image to fit in text height/width
  \sbox\pandoc@box{#1}%
  \Gscale@div\@tempa{\textheight}{\dimexpr\ht\pandoc@box+\dp\pandoc@box\relax}%
  \Gscale@div\@tempb{\linewidth}{\wd\pandoc@box}%
  \ifdim\@tempb\p@<\@tempa\p@\let\@tempa\@tempb\fi% select the smaller of both
  \ifdim\@tempa\p@<\p@\scalebox{\@tempa}{\usebox\pandoc@box}%
  \else\usebox{\pandoc@box}%
  \fi%
}
% Set default figure placement to htbp
\def\fps@figure{htbp}
\makeatother
\usepackage{svg}
\ifLuaTeX
\usepackage[bidi=basic,shorthands=off]{babel}
\else
\usepackage[bidi=default,shorthands=off]{babel}
\fi
\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig} % disable illegal ligatures
\fi
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
\providecommand{\tightlist}{%
  \setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
\usepackage{bookmark}
\IfFileExists{xurl.sty}{\usepackage{xurl}}{} % add URL line breaks if available
\urlstyle{same}
\hypersetup{
  pdftitle={Cursul 1: Câmpul electrostatic{,} potențialul{,} gradientul{,} circulația},
  pdflang={ro},
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\title{Cursul 1: Câmpul electrostatic, potențialul, gradientul,
circulația}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Introducere: mărimi ale câmpului
electrostatic}\label{introducere-mux103rimi-ale-cuxe2mpului-electrostatic}

Electrostatica studiază câmpuri produse de sarcini electrice în repaus.
Mărimile fundamentale care descriu câmpul electrostatic sunt:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{Intensitatea câmpului electric} \(\vec{E}\), cu unitatea de
  măsură \(\mathrm{N/C}\) sau, echivalent, \(\mathrm{V/m}\).
\item
  \textbf{Potențialul electric} \(V\), cu unitatea de măsură
  \(\mathrm{V}\).
\end{itemize}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Mărimi fundamentale: E și V}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c01_intro_marimi.png}}
\caption{Mărimi fundamentale: E și V}
\end{figure}

\subsection{Proprietăți ale câmpului electrostatic ilustrate prin câmp
și
potențial}\label{proprietux103ux21bi-ale-cuxe2mpului-electrostatic-ilustrate-prin-cuxe2mp-ux219i-potenux21bial}

Proprietățile câmpului electrostatic sunt descrise în termenii mărimilor
\(\vec{E}\) și \(V\).

\subsubsection{Relația dintre câmpul electric și potențial:
gradientul}\label{relaux21bia-dintre-cuxe2mpul-electric-ux219i-potenux21bial-gradientul}

Relația fundamentală dintre intensitatea câmpului electric și
potențialul electric este:

\[
\boxed{\vec{E} = -\operatorname{grad} V} \qquad (1)
\]

Gradientul unui câmp scalar \(f(x,y,z)\) este definit ca:

\[
\operatorname{grad} f = \vec{i}\,\frac{\partial f}{\partial x}
                       + \vec{j}\,\frac{\partial f}{\partial y}
                       + \vec{k}\,\frac{\partial f}{\partial z}
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c01_axes_unit_vectors.svg}}
\caption{Versorii cartezieni i, j, k și sistemul de axe Ox, Oy, Oz:
fiecare versor are lungimea unu și arată direcția unei axe.}
\end{figure}

\textbf{Interpretare geometrică:} gradientul este un vector orientat pe
direcția pe care mărimea scalară crește cel mai rapid.

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Gradient al lui V = kQ/r pe direcție radială}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c01_grad_radial.png}}
\caption{Gradient al lui V = kQ/r pe direcție radială}
\end{figure}

Pentru câmpul unei sarcini punctiforme de valoare \(Q\), câmpul și
potențialul sunt:

\[
\begin{aligned}
  \vec{E} &= k\,\frac{Q}{r^{3}}\,\vec{r} \\[4pt]
  V &= k\,\frac{Q}{r}
\end{aligned}
\]

unde \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\) este constanta lui Coulomb,
iar \(\vec{r}\) este vectorul de poziție față de sarcină. Pe direcția
radială, potențialul \(V = kQ/r\) crește cel mai rapid, ceea ce confirmă
relația (1).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c01_position_vector.svg}}
\caption{Vectorul de poziție r al punctului P(x, y, z) și descompunerea
lui pe axele Ox, Oy, Oz.}
\end{figure}

\subsubsection{Variația infinitezimală a
potențialului}\label{variaux21bia-infinitezimalux103-a-potenux21bialului}

Potențialul \(V(x,y,z)\) depinde, în general, de toate cele trei
variabile spațiale. Variația sa totală infinitezimală este:

\[
dV(x,y,z) = \frac{\partial V}{\partial x}\,dx
           + \frac{\partial V}{\partial y}\,dy
           + \frac{\partial V}{\partial z}\,dz
\]

Aceasta se poate rescrie compact ca produsul scalar:

\[
dV = (\operatorname{grad} V)\cdot d\vec{r}
\]

Folosind relația (1), rezultă imediat:

\[
\boxed{dV = -\vec{E}\cdot d\vec{r}} \qquad (2)
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Variația infinitezimală dV = -E · dr}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c01_dV_scalar.png}}
\caption{Variația infinitezimală dV = -E · dr}
\end{figure}

\subsubsection{Integrala de linie a câmpului
electric}\label{integrala-de-linie-a-cuxe2mpului-electric}

Integrând relația (2) de-a lungul unui drum arbitrar \(\Gamma\) de la
punctul 1 la punctul 2:

\[
\int_{1}^{2} dV = -\int_{1}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}
\]

\[
\boxed{V_{2} - V_{1} = -\int_{1}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}} \qquad (3)
\]

sau, echivalent:

\[
\boxed{V_{1} - V_{2} = \int_{1}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}} \qquad (4)
\]

Aceasta este \textbf{relația fundamentală a electrotehnicii}: diferența
de potențial dintre două puncte este egală cu suma (integrala) tuturor
produselor scalare \(\vec{E}\cdot d\vec{r}\) de-a lungul drumului
\(\Gamma\).

\subsection{Tensiunea electrostatică și circulația câmpului
electric}\label{tensiunea-electrostaticux103-ux219i-circulaux21bia-cuxe2mpului-electric}

\subsubsection{Definiția tensiunii}\label{definiux21bia-tensiunii}

Diferența de potențial dintre două puncte se numește \textbf{tensiune
electrostatică}:

\[
U_{12} = V_{1} - V_{2}
\]

Unitatea de măsură este \(\mathrm{V}\).

\subsubsection{Circulația câmpului
electric}\label{circulaux21bia-cuxe2mpului-electric}

Din relația (4) se definește \textbf{circulația câmpului electric} de-a
lungul drumului \(\Gamma\):

\[
\boxed{U_{12} = \int_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r}} \qquad (5)
\]

Tensiunea electrostatică dintre punctele 1 și 2 este egală cu circulația
câmpului electric între cele două puncte pe drumul \(\Gamma\).

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Circulația câmpului E de la 1 la 2 pe drumuri diferite}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c01_circ_drum.png}}
\caption{Circulația câmpului E de la 1 la 2 pe drumuri diferite}
\end{figure}

\textbf{Întrebare cheie:} tensiunea \(U_{12}\) depinde de forma drumului
\(\Gamma\)? Cu alte cuvinte, depinde circulația câmpului electric de
forma drumului parcurs?

\subsection{Conservativitatea câmpului
electrostatic}\label{conservativitatea-cuxe2mpului-electrostatic}

\subsubsection{Demonstrație pentru câmpul unei sarcini
punctiforme}\label{demonstraux21bie-pentru-cuxe2mpul-unei-sarcini-punctiforme}

Fie o sarcină \(Q\) aflată la origine. Câmpul electric în punctul
\(\vec{r}\) este:

\[
\vec{E} = k\,\frac{Q}{r^{3}}\,\vec{r}
\]

Calculăm circulația câmpului de la punctul 1 la punctul 2:

\[
\begin{aligned}
  \int_{1}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}
  &= \int_{1}^{2} k\,\frac{Q}{r^{3}}\,\vec{r}\cdot d\vec{r} \\
  &= k\,Q \int_{1}^{2} \frac{\vec{r}}{r^{3}}\cdot d\vec{r} \\
  &= k\,Q \int_{1}^{2} \frac{r\,dr}{r^{3}} \\
  &= k\,Q \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{r^{2}} \\
  &= k\,Q \left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}} \\
  &= k\,Q \left(-\frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{1}}\right) \\
  &= \frac{kQ}{r_{1}} - \frac{kQ}{r_{2}} = V_{1} - V_{2}
\end{aligned}
\]

Rezultatul depinde \emph{exclusiv} de pozițiile \(r_{1}\) și \(r_{2}\)
ale capetelor drumului, nu de forma drumului parcurs între ele.

\subsubsection{Independența față de drum: demonstrație
geometrică}\label{independenux21ba-faux21bux103-de-drum-demonstraux21bie-geometricux103}

Fie \(\Gamma_1\) un drum direct arbitrar de la 1 la 2, și fie
\(\Gamma_2\) un drum compus din trei segmente: \(1 \to 3 \to 4 \to 2\),
construit cu două segmente radiale (de-a lungul câmpului) și un arc
\(3\to4\) perpendicular pe câmp. Pe drumul compus \(\Gamma_2\):

\[
\begin{aligned}
  \int_{\Gamma_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r}
  &= \underbrace{\int_{1}^{3} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{de-a lungul câmpului}}
   + \underbrace{\int_{3}^{4} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{=\,0,\;\vec{E}\perp d\vec{r}}
   + \underbrace{\int_{4}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}}_{\text{de-a lungul câmpului}} \\[4pt]
  &= \int_{1}^{3} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int_{4}^{2} \vec{E}\cdot d\vec{r}
\end{aligned}
\]

Cele două segmente radiale ale lui \(\Gamma_2\) acoperă exact aceeași
variație radială a câmpului ca drumul direct \(\Gamma_1\), deci
integralele lor coincid:

\[
\int_{\Gamma_{1}} \vec{E}\cdot d\vec{r}
= \int_{\Gamma_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r}
\]

Relația este valabilă pentru orice fel de drum; orice drum poate fi
împărțit în bucăți infinitezimale ale lui \(\vec{r}\), și pentru fiecare
bucată se aplică aceeași proprietate. Aceasta este \textbf{conservarea
câmpului}: circulația este independentă de drum.

Proprietatea este analogă legii atracției universale a lui Newton: și
forța gravitațională variază cu \(1/r^2\) și este, la rândul ei,
conservativă. Aceeași structură matematică (o forță centrală în
\(1/r^2\)) garantează independența de drum.

\subsubsection{Enunțul
conservativității}\label{enunux21bul-conservativitux103ux21bii}

Circulația câmpului electric între două puncte \emph{nu} depinde de
forma drumului, ci numai de pozițiile inițială și finală. Se spune că
câmpul electric are \textbf{proprietatea de conservativitate}: câmpul
electric este un \textbf{câmp conservativ}.

Rezultatul obținut este valabil pentru câmpul produs de o singură
sarcină punctiformă, însă proprietatea se păstrează pentru orice
distribuție de sarcini. Dacă avem un câmp produs de mai multe sarcini
punctiforme, fiecare câmp individual satisface relația de mai sus. Prin
superpoziție, putem afirma că, indiferent de câte sarcini și cum sunt
așezate, câmpul electric produs de ansamblul lor este un câmp
conservativ (circulația câmpului între două puncte arbitrare este
independentă de forma drumului dintre cele două puncte).

\begin{quote}
\textbf{Observație esențială:} este esențial ca sarcinile să fie în
repaus. Dacă sarcinile se mișcă, câmpul electric nu este întotdeauna
conservativ.
\end{quote}

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includegraphics[keepaspectratio,alt={Superpoziția câmpurilor de la mai multe sarcini}]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/renders/posters/c01_superpozitie_sarcini.png}}
\caption{Superpoziția câmpurilor de la mai multe sarcini}
\end{figure}

\subsection{Lucrul mecanic al forței
electrice}\label{lucrul-mecanic-al-forux21bei-electrice}

\subsubsection{Legătura cu circulația
câmpului}\label{legux103tura-cu-circulaux21bia-cuxe2mpului}

Câmpul electric \(\vec{E}\) exercită asupra unei sarcini de probă \(q\)
forța electrică:

\[
\vec{F}_{el} = q\,\vec{E}
\]

Deoarece circulația câmpului este independentă de drum:

\[
\int_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r} = \text{independent de forma drumului}
\]

Substituind \(\vec{E} = \vec{F}_{el}/q\) și apoi înmulțind cu \(q\):

\[
\frac{1}{q} \int_{\Gamma} \vec{F}_{el}\cdot d\vec{r}
  = \text{independent de drum}
\implies
\int_{\Gamma} \vec{F}_{el}\cdot d\vec{r}
  = \text{independent de drum}
\]

\textbf{Concluzie:} lucrul mecanic al forței electrice între două puncte
este independent de forma drumului.

Lucrul mecanic efectuat de \(\vec{F}_{el}\) care acționează asupra unei
sarcini arbitrare \(q\), deplasată pe un drum arbitrar \(\Gamma\) între
două puncte fixe, este independent de forma drumului.

\subsubsection{Relații de sinteză}\label{relaux21bii-de-sintezux103}

\[
\begin{aligned}
  \int_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r} &= U_{12}
\end{aligned}
\]

unde \(U_{12}\) este tensiunea electrostatică dintre punctele 1 și 2,
care reprezintă circulația câmpului electric 1-2 pe \(\Gamma\).

Lucrul mecanic efectuat de forța electrică \(\vec{F}_{el} = q\vec{E}\)
care acționează asupra sarcinii \(q\) deplasate pe \(\Gamma\), notat
\(L_{\vec{F}_{el}}^{(\Gamma)}\):

\[
L_{\vec{F}_{el}}^{(\Gamma)} = \int_{\Gamma} \vec{F}_{el}\cdot d\vec{r}
\]

Acesta reprezintă circulația forței electrice între puncte, pe
\(\Gamma\).

Deoarece câmpul este conservativ (\(\vec{F}_{el}\) conservativă, la fel
ca greutatea):

\[
L_{\vec{F}_{el}}^{(\Gamma_{1})} = L_{\vec{F}_{el}}^{(\Gamma_{2})}
\]

\begin{figure}
\centering
\pandocbounded{\includesvg[keepaspectratio]{D:/Daniel/proiecte/electricitate_si_magnetism/web/public/figures/c01_lucru_mecanic_q.svg}}
\caption{Sarcina q se deplasează pe drumul Γ₁ sau Γ₂ de la punctul 1 la
punctul 2 în câmpul E; forța F\_el = qE efectuează același lucru mecanic
pe ambele drumuri.}
\end{figure}

\subsection{Circulația pe drum
închis}\label{circulaux21bia-pe-drum-uxeenchis}

\subsubsection{Proprietatea
fundamentală}\label{proprietatea-fundamentalux103}

Considerăm un drum închis \(\oint\) (punctul de start coincide cu
punctul de final, deci \(V_{1} = V_{2}\)). Atunci:

\[
U_{12} = V_{1} - V_{2} = 0
\]

Prin urmare, circulația câmpului electric pe orice drum închis este
nulă:

\[
\boxed{\oint_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0}
\]

Echivalent, lucrul mecanic al forței electrice pe drum închis este nul:

\[
L_{\vec{F}_{el}}^{(\Gamma)} = \oint_{\Gamma} \vec{F}_{el}\cdot d\vec{r} = 0
\]

Relația \(\oint_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0\) este expresia
matematică a conservativității câmpului electrostatic. Este echivalentă
cu relația \(\vec{E} = -\operatorname{grad} V\) și constituie una dintre
ecuațiile de bază ale electrotehnicii.

\subsection{Aplicații numerice}\label{aplicaux21bii-numerice}

\subsubsection{Exemplul 1: câmp electric uniform între plăci
paralele}\label{exemplul-1-cuxe2mp-electric-uniform-uxeentre-plux103ci-paralele}

\textbf{Date:} câmp electric uniform (linii de câmp paralele,
\(\vec{E}\) constant), distanța
\(d = AB = 10\,\mathrm{cm} = 0{,}1\,\mathrm{m}\), tensiunea
\(U_{AB} = 200\,\mathrm{V}\).

\textbf{Cerință:} \(E = ?\)

\textbf{Rezolvare:}

Alegem drept drum de integrare linia dreaptă de la A la B (paralelă cu
\(\vec{E}\) și perpendiculară pe plăci), ceea ce simplifică cel mai mult
calculul:

\[
\begin{aligned}
  U_{AB} &= \int_{\Gamma} \vec{E}\cdot d\vec{r}
           = \int_{\Gamma} |\vec{E}|\,|d\vec{r}|\cos 0
           = E \int_{\Gamma} dr = E \cdot d
\end{aligned}
\]

Deci, pentru câmp uniform:

\[
\boxed{U_{AB} = E \cdot d}
\implies
E = \frac{U_{AB}}{d}
\]

Numeric:

\[
E = \frac{200\,\mathrm{V}}{0{,}1\,\mathrm{m}}
  = 2000\,\mathrm{V/m}
\]

\subsubsection{\texorpdfstring{Exemplul 2: condensator cu
\(d = 1\,\mathrm{cm}\),
\(U_{12} = 1600\,\mathrm{V}\)}{Exemplul 2: condensator cu d = 1\textbackslash,\textbackslash mathrm\{cm\}, U\_\{12\} = 1600\textbackslash,\textbackslash mathrm\{V\}}}\label{exemplul-2-condensator-cu-d-1mathrmcm-u_12-1600mathrmv}

\[
E = \frac{U_{12}}{d}
  = \frac{1600\,\mathrm{V}}{10^{-2}\,\mathrm{m}}
  = 1{,}6 \times 10^{5}\,\mathrm{V/m}
  = 160\,\mathrm{kV/m}
\]

\end{document}
